اموزش انلاین انتقال حرارت

[spow 44197]

[h=1]معادله ی توزیع دما در دستگاه کارتزین[/h]

حجم کنترل دیفرانسیلی در دستگاه کارتزین

 

 

برای یدست آوردن معادله توزیع دما در مختصات کارتزین یک المان مکعبی شکل با ابعاد دیفرانسیلی dx.dy.dz را در درون یک جسم که در معرض انتقال حرارت هدایتی باشد، مطابق شکل در نظر بگیرید. بقای انرژی را برای این المان نوشته و خواهیم داشت:

انرژی ورودی به این المان از طریق هدایت برابر است با:

انرژی خروجی از این المان از طریق هدایت برابر است با:

میزان انرژی تولید شده در المان برابر است با:

نهایتا مقدار انرژی ذخیره شده در المان برابر است با:

بر اساس قانون فوریه داریم:

و با استفاده از بسط تیلور مرتبه اول داریم:

با قراردادن مقادیر فوق در معادله بقای انرژی و پس از ساده کردن، خواهیم داشت:

 

در صورتیکه ضریب هدایتی k مقدار ثابتی باشد، می‌توان معادله توزیع دما را بصورت زیر ساده نمود:

که در این معادله:

معادله قبل را می‌توان بصورت زیر نیز نوشت:

که در این معادله:

و به آن لاپلاس دما گفته میشود.

[spow 44197]

[h=1]معادله ی توزیع دما در دستگاه استوانه ای[/h] معادله ی توزیع دما در دستگاه استوانه ای

المان دیفرانسیلی در مختصات استوانه ای

 

 

 

 

 

 

معادله ی توزیع دما:

[spow 44197]

[h=1]معادله ی توزیع دما در دستگاه کروی[/h] معادله ی توزیع دما در دستگاه کروی

در این دستگاه:

 

 

 

 

حجم کنترل دیفرانسیلی در دستگاه کروی

 

 

 

 

[spow 44197]

[h=1]شرایط مرزی و اولیه[/h] شرایط اولیه و مرزی(Boundary and Initial Conditions)

 

• معادله ی توزیع دما یک معادله ی دیفرانسیل پاره ای در فضا و زمان می باشد.
  

 

• این معادله در فضا از مرتبه ی دوم و در زمان از مرتبه ی اول است.
  

 

• برای حل این معادله و یافتن توزیع دمای T بایستی شرایط دما در زمان اولیه (شرایط اولیه) و در مرزهای جسم (شرایط مرزی) معلوم باشد.
  

از آنجاییکه معادله ی توزیع دما در زمان یک معادله ی مرتبه ی اول است، برای شرط اولیه یک شرط کافی است، مثلا:

از آنجاییکه معادله ی توزیع دما در مکان یک معادله ی مرتبه ی دوم است، برای شرایط مرزی در هر جهت محور مختصات دو شرط مرزی لازم است .

 

شرایط مرزی متداول عبارتند از :

 

 

1. دما ثابت (.ِِDirichlet cond):

 

 

 

 

 

 

 

2. نرخ انتقال حرارت ثابت( .Neumann cond ):

 

 

a)نرخ ثابت

 

 

 

 

 

 

 

b) عایق کامل

 

 

 

 

 

 

 

3. شرط مرزی جابجایی:

[spow 44197]

فصل سوم

 

[h=1]هدایت یک بعدی پایا در دیواره ساده بدون تولید انرژی[/h] یک دیواره ساده با ضخامت L را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید. ابعاد دیواره در دو جهت دیگر از نظر فیزیکی بینهایت فرض میشوند. در صورتیکه در دو طرف دیواره دو سیال با دماهای متفاوت وجود داشته باشد، حرارت از طرف گرم به طرف سرد منتقل میشود. بدیهی است که انتقال حرارت در دیواره از طریق هدایت صورت میپذیرد. البته در سطح دیواره، انتقال حرارت جابجایی بین سیال و دیواره وجود خواهد داشت.

انتقال حرارت هدایت یک بعدی پایا در دیواره ساده بدون تولید انرژی

 

 

 

 

به پروفیل دما یا منحنی تغییرات دما از داخل سیال گرم تا سیال سرد توجه فرمایید با توجه به یک بعدی بودن انتقال حرارت، شار حرارتی در جهت x در این شکل حرکت مینماید. حال به شیوه و روش یافتن میدان دما میپردازیم.

 

روش کلی برای حل مسایل هدایت شامل مراحل زیر میباشد: مرحله اول: نوشتن معادله توزیع دما در حالت کلی مرحله دوم: ساده سازی معادله بر اساس فرضیات مسئله مرحله سوم: نوشتن شرایط مرزی مرحله چهارم: حل معادله دیفرانسیل ساده شده با شرایط مرزی معلوم برای دیواره ساده شکل بالا، معادله ساده شده توزیع دما بصورت زیر میباشد:

شرایط مرزی را برای سادگی بصورت شرط دما معلوم در دو دیواره در نظر میگیریم. در نتیجه داریم:

پس از دو بار انتگرال‌گیری از معادله دیفرانسیل بالا داریم:

 

که دو ثابت انتگرال‌گیری را با توجه به شرایط مرزی بدست میآوریم:

در نتیجه، حل معادله توزیع دما بشکل زیر درمیآید:

شار حرارتی برابر است با:

و در نتیجه میزان انتقال حرارت از دیواره برابر است با:

در عمل عمدتا دماهای سیالات دو طرف دیواره معلوم بوده و نه دمای دیواره ها، در نتیجه بایستی شرایط مرزی را بصورت شرایط مرزی جابجایی نوشت و نه شرط مرزی دما معلوم. که در این صورت داریم:

از آنجاییکه حل معادله توزیع دما با این دو شرط مرزی جابجایی قدری دشوارتر بوده، می‌توان از حل قبلی استفاده نمود و دماهای مجهول سطح دیواره را از معادلات زیر بدست آورد. این معادلات بیانگر بقای انرژی در سطح دیواره میباشند:

 

[spow 44197]

[h=1]فصل سوم

 

هدایت یک بعدی پایا در دیواره ساده بدون تولید انرژی[/h] یک دیواره ساده با ضخامت L را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید. ابعاد دیواره در دو جهت دیگر از نظر فیزیکی بینهایت فرض میشوند. در صورتیکه در دو طرف دیواره دو سیال با دماهای متفاوت وجود داشته باشد، حرارت از طرف گرم به طرف سرد منتقل میشود. بدیهی است که انتقال حرارت در دیواره از طریق هدایت صورت میپذیرد. البته در سطح دیواره، انتقال حرارت جابجایی بین سیال و دیواره وجود خواهد داشت.

 

 

انتقال حرارت هدایت یک بعدی پایا در دیواره ساده بدون تولید انرژی

 

 

 

 

به پروفیل دما یا منحنی تغییرات دما از داخل سیال گرم تا سیال سرد توجه فرمایید با توجه به یک بعدی بودن انتقال حرارت، شار حرارتی در جهت x در این شکل حرکت مینماید. حال به شیوه و روش یافتن میدان دما میپردازیم.

 

روش کلی برای حل مسایل هدایت شامل مراحل زیر میباشد: مرحله اول: نوشتن معادله توزیع دما در حالت کلی مرحله دوم: ساده سازی معادله بر اساس فرضیات مسئله مرحله سوم: نوشتن شرایط مرزی مرحله چهارم: حل معادله دیفرانسیل ساده شده با شرایط مرزی معلوم برای دیواره ساده شکل بالا، معادله ساده شده توزیع دما بصورت زیر میباشد:

شرایط مرزی را برای سادگی بصورت شرط دما معلوم در دو دیواره در نظر میگیریم. در نتیجه داریم:

پس از دو بار انتگرال‌گیری از معادله دیفرانسیل بالا داریم:

که دو ثابت انتگرال‌گیری را با توجه به شرایط مرزی بدست میآوریم:

در نتیجه، حل معادله توزیع دما بشکل زیر درمیآید:

شار حرارتی برابر است با:

و در نتیجه میزان انتقال حرارت از دیواره برابر است با:

در عمل عمدتا دماهای سیالات دو طرف دیواره معلوم بوده و نه دمای دیواره ها، در نتیجه بایستی شرایط مرزی را بصورت شرایط مرزی جابجایی نوشت و نه شرط مرزی دما معلوم. که در این صورت داریم:

 

 

از آنجاییکه حل معادله توزیع دما با این دو شرط مرزی جابجایی قدری دشوارتر بوده، می‌توان از حل قبلی استفاده نمود و دماهای مجهول سطح دیواره را از معادلات زیر بدست آورد. این معادلات بیانگر بقای انرژی در سطح دیواره میباشند:

[spow 44197]

[h=1]مفهوم مقاومت معادل حرارتی[/h] در فیزیک الکتریسیته، رابطه بین اختلاف پتانسیل، شدت جریان و مقاومت الکتریکی بصورت زیر بیان میشود:

از طرفی، در انتقال حرارت هدایتی در دیواره ساده داریم:

این معادله را می‌توان بصورت زیر نیز نوشت:

معادله فوق مشابه با رابطه بین اختلاف پتانسیل، شدت جریان و مقاومت الکتریکی میباشد. با این تفاوت که در اینجا شدت جریان حرارتی، اختلاف پتانسیل حرارتی و مقاومت حرارتی میباشد. برای ساده شدن حل مسایل انتقال حرارت، از تشابه بالا استفاده شده و برای بیان مسایل حرارتی، مدارهای معادل حرارتی تعریف مینمایند. با توجه به مطالب خوانده شده تا بحال، برای انتقال حرارت هدایتی در دیواره ساده، انتقال حرارت جابجایی و انتقال حرارت تشعشعی بین یک جسم کوچک و محیط بزرگ اطرافش داریم:

تعریف مقاومت حرارتی معادل برای هدایت در دیواره ساده:

تعریف مقاومت حرارتی معادل برای انتقال حرارت جابجایی:

تعریف مقاومت حرارتی معادل برای انتقال حرارت تشعشعی:

بدین ترتیب برای انتقال حرارت از دیواره ساده می‌توان مدار حرارتی معادل زیر را ترسیم نمود:

مقاومت حرارتی معادل برای دیواره ساده

 

 

 

مقدار انتقال حرارت در این مدار بصورت زیر محاسبه میگردد:

در تشابه با مدارهای سری الکتریکی، برای انتقال حرارت بین دو طرف دیواره داریم:

[spow 44197]

[h=1]دیواره های مرکب یا چند لایه ای[/h] در بسیاری از مسایل مهندسی بجای دیواره ساده دیواره هایی با چندین لایه وجود دارد که انتقال حرارت از این لایه ها صورت میپذیرد. استفاده از مدار حرارتی معادل در حل این مسایل بسیار مفید میباشد. برای مثال، دیواره مرکب شکل زیر را در نظر بگیرید:

انتقال حرارت هدایتی در دیواره مرکب

 

 

 

برای محاسبه انتقال حرارت از سیال گرم به سیال سرد داریم:

لازم به ذکر است که حل این مسئله از طریق حل معادله توزیع دما برای تک تک لایه ها کاری بسیار زمان گیر خواهد بود! تعریف ضریب انتقال حرارت کل U: در برخی موارد و برای سادگی در نوشتن روابط، میزان کل انتقال حرارت را از رابطه زیر بدست میآورند:

و داریم:

دیواره های مرکب می‌توانند اشکال متفاوتی داشته باشند. بعنوان مثال به دیواره مرکب نشان داده شده در شکل زیر توجه فرمایید:

انتقال حرارت هدایتی در دیواره مرکب با ترکیب توام سری و موازی لایه ها

 

 

 

 

مدار حرارتی اول در شکل بالا با فرض اینکه خطوط همدما عمود بر محور x باشند رسم شده، در حالیکه مدار حرارتی دوم با فرض اینکه صفحات آدیاباتیک موازی محور x باشند رسم شده است. تفاوت این دو مدار با افزایش اختلاف بین ضرائب انتقال حرارت هدایتی در نواحی F و G افزایش مییابد. در عمل، انتقال حرارت در این دیواره مرکب دو بعدی میباشد. حرارت نیز بیشتر از مسیری که مقاومت کمتری داشته باشد عبور میکند!

[spow 44197]

[h=1]مقاومت تماسی[/h] معمولا تماس بین لایه ها در دیواره های مرکب یک تماس کامل و ایده آل نمیباشد و بدلیل زبری سطح لایه ها، سطح واقعی تماس بسیار کمتر از سطح اسمی آن میباشد. بدین ترتیب انتقال حرارت عملا از مساحت کمتری صوت میپذیرد. این موضوع در شکل زیر نشان داده شده است.

مقاومت تماسی در ناحیه تماس دو لایه

 

 

 

مقاومت تماسی باعث افت دما در محل تماس دو لایه میشود. مقاومت تماسی به زبری سطوح در حال تماس بستگی داشته و معمولا از طریق اندازه گیریهای آزمایشگاهی بدست میآید. مقادیر مقاومت تماسی برای حل مسایل در این درس، بعنوان داده مسئله در اختیار شما قرار داده میشوند. در جداول زیر نمونه هایی از مقادیر مقاومت تماسی نشان داده شده است:

مقاومت تماسی در ناحیه تماس دو لایه

 

 

 

مقاومت تماسی در ناحیه تماس دو لایه

[spow 44197]

[h=1]هدایت یک بعدی در شرایط ضریب انتقال حرارت هدایتی و مساحت متغیر[/h] همانطور که در مبحث خواص حرارتی مواد توضیح داده شد، ضریب انتقال حرارت هدایتی معمولا تابعی از دما میباشد. بعلاوه در بسیاری از مسایل سطح مقطع جسم نیز ثابت نبوده و تغییر میکند. بعنوان مثال، جسم نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید:

 

 

انتقال حرارت هدایتی در شرایط ضریب انتقال حرارت هدایتی و مساحت متغیر

 

 

 

در اینگونه موارد معمولا بهتر است که بجای استفاده از معادله توزیع دما مستقیما از معادله فوریه برای یافتن میدان دما استفاده شود. در جسم شکل بالا بدلیل عایقکاری اطراف، میزان انتقال حرارت در جسم در جهت x ثابت باقی میماند. در نتیجه داریم:

با داشتن مقادیر و می‌توان با انتگرال‌گیری میدان دما را بدست آورد.

[spow 44197]

[h=1]هدایت یک بعدی پایا در جداره استوانه ای بدون تولید انرژی[/h] یک استوانه بلند تو خالی را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید:

 

 

 

 

انتقال حر استواایتی در یک استوانه بلند

 

 

 

برای یافتن میدان دما در این استوانه در شرایط حالت پایا، بدون تولید انرژی و با فرض انتقال حرارت هدایتی یک بعدی دو راه حل وجود دارد:

راه حل اول: استفاده از معادله توزیع دمای ساده شده: مراحل استفاده از این روش در ادامه خواهد آمد.

راه حل دوم: استفاده از معادله فوریه: با توجه به این واقعیت که میزان انتقال حرارت در استوانه از شعاع داخلی تا شعاع خارجی ثابت میماند، می‌توان با نوشتن معادله فوریه و انتگرال‌گیری از آن میدان دما را بدست آورد. معادله فوریه بشکل زیر میباشد:

در ادامه استفاده از روش اول شرح داده میشود. معادله توزیع دمای ساده شده برای استوانه شکل بالا بصورت زیر میباشد:

با دو بار انتگرال‌گیری از معادله بالا داریم:

شرایط مرزی برای این مسئله را شرایط دما معلوم در نظر میگیریم که خواهیم داشت:

معادلات بالا دو معادله و دو مجهول بوده که با حل آنها مقادیر و بدست میآیند. با قرار دادن این مقادیر در معادله دما خواهیم داشت:

 

 

میزان انتقال حرارت در استوانه با مشتق‌گیری از معادله دما و معادله فوریه بدست میآید و داریم:

با توجه به معادله بالا، مقاومت معادل حرارتی پوسته استوانه ای برابر خواهد بود با:

در صورتیکه پوسته استوانه‌ای چند لایه مطابق شکل زیر داشته باشیم، میزان انتقال حرارت از مدار معادل حرارتی براحتی قابل محاسبه میباشد.

 

 

انتقال حرارت هدایتی در یک پوسته استوانه‌ای چند لایه

[spow 44197]

[h=1]هدایت یک بعدی پایا در پوسته کروی بدون تولید انرژی[/h]

انتقال حرارت هدایتی در دیواره مرکب

 

 

 

 

استفاده از روش معادله ی فوریه :

 

با فرض k ثابت داریم:

 

 

مقاومت حرارتی پوسته ی کروی:

[spow 44197]

[h=1]هدایت یک بعدی پایا با تولید انرژی داخلی در دیواره ساده[/h] تولید انرژی حرارتی داخل اجسام در شرایط مختلف با تبدیل نوعی از انرژی به انرژی حرارتی اتفاق می افتد . برای مثال

1. تبدیل انرژی الکتریکی به حرارتی از طریق المانهای حرارتی

و

 

2. تبدیل انرژی شیمیایی به حرارتی ( واکنش های گرما زا یا گرماگیر)

3. تبدیل انرژی الکترومغناطیسی به انرژی حرارتی در راکتورها و ماکروویوها

 

*هدایت یک بعدی با انرژی داخلی در دیواره ی ساده

 

 

انتقال حرارت هدایتی با انرژی داخلی در دیواره ی ساده

 

 

 

دیواره ی شکل مقابل را در نظر می گیریم ؛ با فرض حالت پایا،انتقال حرارت یک بعدی و خواص ثابت و در صورتیکه حرارت تولید شده بر واحد حجم مقدار ثابت باشد ؛ معادله ی توزیع دما بصورت زیر ساده می شود :

با دو بار انتگرال‌گیری داریم :

برای حل نیاز به دو شرط مرزی است.با در نظر گرفتن شرایط دما معلوم برای دو طرف دیواره خواهیم داشت:

 

 

 

 

در نتیجه میدان دما به صورت زیر به دست می آید:

 

 

 

• با اندکی دقت ملاحظه می شود کهq_x در اینحالت باx تغییر می کند و ثابت نیست.
  

برای حالت خاص که T_s,1 = T_s,2 = T_s میدان دما به صورت زیر ساده می شود:

در این صورت دمای وسط دیواره برابر است با:

با استفاده از تعریف T₀میدان دما به صورت زیر در می آید:

در این حالت ملاحظه می شود که توزیع دما T(x) بر حسب دمای دیوارهT_sبیان شده است.

در صورتیکه دمای معلوم باشد از بالانس انرژی روی سطح داریم:

که می توان با جایگذاری در معادله دما میدان دما را بر حسب بدست آورد.

 

• در حالت شرایط یکسان در دو طرف تغییراتT_xیک سهمی متقارن می باشد.
  

 

 

 

توزیع دما در یک دیواره که از یک طرف عایق شده باشد همانند نصفی از دیواره ساده مثل مثال قبل خواهد بود.

 

 

 

 

[spow 44197]

[h=1]هدایت یک بعدی پایا با تولید انرژی داخلی در جداره استوانه ای[/h] مثال عملی :سیم های حاوی جریان الکتریسیته

 

 

انتقال هدایتی در اجسام استوانه ای با تولید انرژی

 

 

 

معادله ی ساده شده توزیع دما با فرضیات حالت یایا, خواص ثابت و انتقال حرارت یک بعدی به صورت زیر در می آید

که تولید حرارت بر واحد حجم می باشد.

یس ازیک بار انتگرال گیری داریم:‍‍‍‍‍‍‍‍

 

با انتگرال گیری مجدد خواهیم داشت:

 

 

 

برای یا فتن دو ضریب c1 و c2 به دو شرط مرزی نیاز است:

شرط ۱) دمای سطح استوانه

شرط ۲) تقارن در مرکز استوانه

 

 

 

برای شرط دوم می توان از شرط محدود بودن T در مرکز نیز استفاده نمود.

با توجه به دو شرط بالا داریم:

 

 

 

 

f در نتیجه میزان دما برابر است با:

 

برای ارتباط دادن بهاز بقاء انرژی در سطح استوانه داریم:

[spow 44197]

[h=1]انتقال حرارت در سطوح گسترده یا فین ها، تعاریف و کاربردها[/h] تعریف:سطح گسترده یا فین یک ابزار مهندسی برای افزایش میزان انتقال حرارت از سطوح می باشد. مثال های عملی کاربرد فین ها:

 

• انواع رادیاتورها
  
• بدنه ی سیلندر موتور سیکلت ها
  
• موی بدن!
  

اشکال زیر مثالهای متعددی از کاربرد فینها را نشان میدهند.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[spow 44197]

[h=1]معادله توزیع دما برای فین ها در حالت کلی[/h] تحلیل حالت کلی: شکل زیر را در نظر بگیرید

 

 

 

 

فرض انتقال حرارت یک بعدی در شرایطی است که تغییرات T در جهت x بسیار بیشتر از جهات دیگر است.

مساحت سطح مقطع

مساحت جانبی

 

برای تحلیل این سیستم و یافتن توزیع دما،داریم:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

معادله ی فوق معادله ی توزیع دما برای یک سطح گسترده در حالت نسبتا کلی(با فرض یک بعدی بودن انتقال حرارت) می باشد. شکل زیر فینهای مختلف را که دارای سطح مقطع متفاوت میباشند، نشان میدهد.

[spow 44197]

[h=1]معادله توزیع دما برای فین ها با سطح مقطع ثابت[/h] سطوح گسترده با سطح مقطع ثابت را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید:

فین با سطح مقطع یکنواخت

 

 

 

 

 

شرط مرزی در ریشه ی فین معمولا بصورت دما معلوم می‌باشد و داریم:

در این شرایط(سطح مقطع ثابت)داریم:

 

 

در نتیجه ی معادله ی ساده شده ی توزیع دما در فین بصورت زیر در می آید:

با استفاده از تغییر متغیر:

معادله ی توزیع دما در فین بصورت زیر در میآید:

که:

 

معادله ی فوق یک معادله ی خطی همگن مرتبه ی دوم است که حل عمومی آن بصورت زیر می باشد:

 

 

دو شرط مرزی نیاز استکه ضرایب و را بدست آوریم:

شرط مرزی اول، دمای معلوم در ریشه ی فین به صورت زیر بیان می شود:

 

برای شزط مرزی دوم معمولا 4 حالت وجود دارد:(در x=L)

1)انتقال جابجایی از نوک فین: این شرط مرزی به صورت زیر بیان می شود:

در x=L

بر حسب متغیر داریم:

 

 

با استفاده از شرایط مرزی فوق،حل میدان دما (بر حسب متغیر ) بصورت زیر می باشد:

 

 

در x=0:

 

 

 

در جدول زیر خلاصه شرایط مرزی مختلف برای نوک فین و حل معادل آنها آورده شده است:

[spow 44197]

[h=1]عملکرد و بازده فین ها[/h] *عملکرد فین (Fin performance)

هدف از استفاده ار فین ها افزایش نرخ انتقال حرارت از طریق افزایش سطح مفید انتقال حرارت می باشد.

توجه شودکه خود فین یک مقاومت هدایتی نیز به سیستم اضافه می کند .

-تعریف ضریب تـأثیر فین (Fin effectiveness):

 

که در آن کل حرارت منتقل شده بوسیله ی فین ؛

سطح مقطع ریشه ی فین و

می باشند .

معمولآ بایستی تااستفاده از فین ها قابل توجیه باشد .بعنوان مثال برای حالت فین با سطح مقطع ثابت مستطیلِی و داریم :

برای افزایش عموما" :

1). بایستی زیاد باشد.(مس و آلومینیوم)

2). در شرایطی که کم است ،فین قرار داده شود .(رادیاتورهای ماشین در سمت هوایی دارای فین می باشند .)

3). زیاد باشد .(معمولا" فین ها نازک و با تعداد زیاد استفاده می شوند .)

 

-تعریف مقاومت حرارتی فین:

مطابق تعریف برای ریشه ی فین داریم:

 

-تعریف ضریب تأثیر فین بر حسب مقاومت حرارتی فین:

 

 

برای ضریب تأثیر خوب (بزرگتر از 1 یا 2 یا...) بایستی

-تعریف راندمان فین :

وقتی اتفاق می افتد که هدایت در داخل فین بینهایت باشد . درنتیجه بتوان فرض کرد که تمامی نقاط فین دارای هستند .

برای سادگی و راحتی استفاده از روابط می توان از نتایج فین با شرط مرزی (2) آدیاباتیک بجای فین با شرط مرزی (1)استفاده کرد اگر از استفاده کنیم که در آن طول تصحیح شده نام دارد ؛ دراین حالت برای فین با شرط مرزی جابجایی در نوک داریم :

 

ناحیه ی اعتبار این روابط :

برای محاسبه ی برای برخی فین های متداول می توان از شکلهای زیر استفاده نمود .

 

 

 

 

 

روش استفاده از شکلهای بالا به شرح زیر است:

1). محاسبه ی

2). پیدا کردن از روی منحنی

 

3). محاسبه ی از رابطه ی

برای محاسبه ی A_f در شرایط مختلف نشان داده شده در شکلها از تقریبهای زیر استفاده می شود .

[spow 44197]

[h=1]فصل چهارم: انتقال حرارت یک بعدی گذرا[/h]

[h=1]روش ظرفیت حرارتی کل[/h] هدایت گذرا

 

هدایت گذرا در شرایط مختلف در مسایل علمی اتفاق می افتد.

به عنوان مثال :

1) تغییر شرایط مرزی(قرار گرفتن یک جسم داغ در سیال سرد)

تغییر دمای یک جسم در اثر تغییر دمای محیط

 

 

 

2) تغییرات یا پیدایش و یا قطع تولید داخلی انرژی در اجسام

و غیره....

 

 

 

• البته پس از یک تغییر در صورت ثابت ماندن شرایط پس از مدتی دوباره به حالت پایا s.s میرسیم.
  

 

1_4) روش ظرفیت حرارتی کل Lump capacitance method

جسمی را با دمای و در لحظه در یک سیال با قرار می دهیم. در این حالت دمای جسم با زمان با رسیدن به تغییر خواهد کرد :برای یافتن چگونگی تغییرات، بالانس انرژی را در نظر میگیریم.

 

 

 

 

 

 

 

 

تعریف:

 

 

 

 

 

 

 

که در آن

 

 

 

اگر

تغییر دمای یک جسم در زمان با حل ظرفیت حرارت کل

 

 

 

 

تعریف :ثابت زمانی حرارت thermal time constant

با توجه به معادله بالا می‌توان متغییر زیر را تعریف نمود:

 

که در آن R_t مقاومت حرارتی در برابر جابجایی و C_t ظرفیت حرارتی کل (Lump thermal capacitance) می باشد.

 

مدار معادل الکتریکی مسایل L.T.Cعبارتست از:

 

برای محاسبه ی انتقال حرارت از جسم در مدت زمان t داریم:

 

 

با جایگذاری معادله به دست آمده برای θ در رابطه ی بالا داریم:

 

 

 

با توجه به معادله ی بقاء انرژی داریم:

که در آن حرارت تلف شده و تغییرات انرژی داخلی جسم است.

[spow 44197]

[h=1]اعتبار روش ظرفیت حرارتی کل[/h] علیرغم سادگی و راحتی استفاده از روابط روش ظرفیت حرارتی کل ضروری می‌باشد که حیطه و شرایط این روابط معین گردد.

برای فهم بهتر, مسئله انتقال حرارت از دیواره ی ساده ی شکل زیر را در نظر می گیریم.

انتقال حرارت گذرا در یک دیواره ساده

 

 

 

 

 

از قبل داریم:

 

 

 

که در آن عدد بیوت .Biot no می باشد.

 

 

 

• توضیح پیرامون مفهوم عدد بیوت :
  

ملاحظه می شود که :

 

 

 

حال می توان پروفیل دمای یک دیواره رانسبت به که از دو طرف در معرض سیال قرار می گیرد در حالات مختلف در نظر گرفت.

تغییرات پروفیل دما در انتقال حرارت گذرا در یک دیواره ساده

 

 

 

 

 

 

• برای تشخیص اینکه آیا می توان از روش (ظرفیت کلی) در حل مسایل گذرا استفاده نمود, بایستی ابتدا مقدار عدد تعیین شود. در عمل محدوده ی اعتبار روش عبارتست از
  

 

 

 

• در این حالت :
  

که معمولا یک طول مشخصه جسم است و عمدتا به صورت زیر محاسبه می شود:

 

که در آن حجم

و سطح می باشد.