مثالهایی از مکانیک لاگرانژی

Credo · 11 شهریور، ۱۳۹۲

تو این تاپیک سعی میکنم چند مسئله رو با استفاده از مکانیک لاگرانژی براتون حل کنم...که البته بالاتر از سطح مسائل کتابهای درسی معمول مکانیک تحلیلی هستن و قدرت این روش رو بهتر نشون میدن...

اولین مسئله بررسی حرکت یه گوی غلطان در یه مسیر کمانیه...با حضور مقاومت هوا که متناسب با سرعته...و با فرض اینکه لغزشی در حرکت گوی وجود نداره...

مسیر کمانیه از یه دایره به شعاع R و شعاع گوی هم برابره با r

اولین قدم برای به دست آوردن معادلات حرکت گوی،اینه که تعدادی مختصات برای توصیف حرکتش پیدا کنیم که با حداقل تعداد،حالت گوی رو به طور یکتا مشخص کنن...برای این مسئله دو زاویه مناسب هستن که یکی زاویه ایه به اسم $gif.latex? \beta$ که چرخش گوی حول محورش رو نشون میده و زاویه ی دیگه به اسم $gif.latex? \alpha$ در شکل نشون داده شده

حالا وقتشه با استفاده از مختصات گفته شده،لاگرانژی مناسب برای گوی رو بنویسیم...

$gif.latex? L=T-V=\frac{1}{2}m R^2 \dot{\alpha}^2+\frac{1}{5}m r^2 \dot{\beta}^2-mgR(1-\cos{\alpha})$

حالا با استفاده از قیدمون،بدون لغزش بودن غلطش گوی که یعنی $gif.latex? v_{cm}=R \dot{\alpha}=r \dot{\beta}$ ،لاگرانژی رو ساده تر میکنیم

$gif.latex? L=(\frac{1}{2}+\frac{1}{5})m R^2 \dot{\alpha}^2-mgr(1-\cos{\alpha})=\frac{7}{10}m R^2 \dot{\alpha}^2-mgR(1-\cos{\alpha})$

مرحله ی بعدی به دست آوردن مشتقات لازم برای نوشتن معادلات اویلر-لاگرانژه

$gif.latex? \frac{\partial L}{\partial \alpha}=-mgR \sin{\alpha}$

$gif.latex? \frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}=\frac{7}{5}mR^2 \dot{\alpha} \Rightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\alpha}}=\frac{7}{5}mR^2 \ddot{\alpha}$

حالا معادلات اویلر-لاگرانژ(که اینجا باید بگیم معادله،چون فقط یه مختصه ی مستقل داریم) رو مینویسیم که مقاومت هوا اینجا اضافه میشه(b ضریب مقاومت هواس) و معادله ی حرکت رو به دست میاریم:

$gif.latex? \frac{7}{5}mR^2 \ddot{\alpha}+mgR\sin{\alpha}=-bR\dot{\alpha} \Rightarrow \frac{7}{5}mR^2 \ddot{\alpha}+bR\dot{\alpha}+mgR\sin{\alpha}=0$

اگه سؤالی داشتید میتونید همینجا بپرسید...

ورود

مثالهایی از مکانیک لاگرانژی

ارسال های توصیه شده

Credo 349

لینک به دیدگاه

سایت نواندیشان

انجمن نواندیشان

جریان فعالیت های من

کسب درآمد کنید