حل معادله درجه دوم توسط رياضي دان ايراني قرون وسطا

[moein.s 18983]

نويسنده: توماس جي اوسلر (1)

 

ترجمه: ميركريم محمدي

 

 

امروزه معادلات درجه 2 را به صورت ax2+bx+c=0 مي نويسيم و به روش "مربع كامل" آن را حل مي كنيم. روش هاي جبري نتيجه تلاش مستمر رياضي دانان بابلي، يوناني و ايراني طي 2 هزار سال فكر و انديشه است. در اين مقاله به روش حل معادلات درجه 2 توسط دو رياضي دان مشهور ايراني، خوارزمي (850-777م) و عمر خيام (1123-1043م) مي پردازيم.

 

قبل از هرچيز لازم است بدانيم كه رياضي دانان آن دوران تحت چه مشكلاتي به اين كار مشغول بوده اند. اول اين كه، ابتدا نمادهاي يك معادله درجه 2 به شكل x2=3x+4 براي آنان نامفهوم بوده است و چنين لفظي را به كار مي برده اند: "اگر سه برابر مجهولي با عدد 4 جمع گردد و با مربع خودش برابر باشد، مقدار آن مجهول چند خواهد بود؟" و جالب اين كه نمادهاي رياضي قدمتي 500 ساله دارند و تا پيش از قرن شانزدهم ميلادي، كشمكش بر سر عبارات لفظي در بين رياضي دانان وجود داشته است.

 

دومين مشكل، ناتواني آنها در به رسميت شناختن اعداد منفي و مختلط بوده است، به نظر رياضي دانان قرون وسطي، اعداد يا صفر بودند يا مثبت.

 

روش حل معادله درجه 2

 

معادله درجه 2 به شكل x2=bx+c را كه همگي متغيرهاي مثبت فرض شده اند، در نظر بگيريد. با توجه به شكل (1) مراحل زير را دنبال مي كنيم:

 

1. مربع ABCD را رسم كنيد (از آنجا كه X مجهول است، مقدار آن را بيش از b فرض كنيد).

 

2. نقطه E را روي ضلع BC چنان تعيين كنيد كه EC=b.

 

3. پاره خط EL را موازي ضلع AB رسم كنيد و توجه داشته باشيد كه CDLE داراي مساحت bx مي باشد و چون x2=bx+c پس مي بايست ABEL داراي مساحت C باشد.

 

4. پاره خط EC را در نقطه F نصف كرده و مربع EFGH به ضلع b/2 را مي سازيم.

 

5. در امتداد ضلع FG نقطه I را چنان تعيين مي كنيم كه IF=BE.

 

6. توجه داشته باشيد كه LI=HE=b/2

 

7. به وضوح مشاهده مي كنيم كه KBFI يك مربع است.

 

8. مستطيل هاي AKIL و IHGI متجانس باشند بنابراين:

 

مساحت KBEHGI= مساحت ABEL=C

 

1- مساحت KBFI= مساحت EFGH- مساحت KBEHGI= c+b/2

 

2- طول ضلع مربع KBFI برابر است با BC-FC=X-b/2

 

3- بنابراين و خواهيم داشت:

 

خوارزمي روش هندسي را تنها براي يافتن راه حل جبري معادله به خصوص x2=3x+4 به كار برد، در حالي كه عمر خيام راه حلي كلي براي معادله عمومي x2=bx+c ارائه داد.

 

محمدبن موسي خوارزمي معروف به خوارزمي در شهر خوارزم از نواحي شمال ايران ديده به جهان گشود، وي يكي از پژوهشگران ممتاز بيت الحكمت در بغداد (عراق) بود، بيت الحكمه يكي از بزرگ ترين كتابخانه هاي و رصدخانه هاي دنيا را دارا و محل زندگي برخي از بزرگ ترين دانشمندان عصر خود بوده است. مترجمان اين مركز به ترجمه تاليفات علمي از زبان هاي سانسكريت، پهلوي، سرياني و يوناني به عربي مشغول بوده اند [4].

 

مشهورترين اثر خوارزمي كتاب "الجبر و المقابله"، به عنوان اولين كتاب جبر در تاريخ رياضيات است [3]. اين كتاب تا قبل از ظهور "ويت" رياضي دان فرانسوي (1630-1550م) كه جبر و هندسه را در قرن 16 توسعه داد، بهترين مرجع جبر براي اروپاييان بوده است.

 

در قرن 12 ميلادي با ترجمه كتاب "الجبر و المقابله" به زبان لاتين، اروپاييان مطالب بسياري از اين كتاب آموختند، قدمتي 1200 ساله دارد و واژه لاتين "الجبرا" از نام همين كتاب اتخاذ شده است. "جبر" به معني انتقال عبارات منفي از يك طرف معادله و مثبت نمودن آنهاست و "مقابله" به معني حذف عبارات مشابه از دو طرف معادله مي باشد. كتاب خوارزمي شامل معادلات جبري درجه 1 و 2 به همراه راه حل هندسي، چهار عمل مقدماتي حساب، موضوعاتي در مورد مساحت و حجم و مسائلي در رابطه با ارث و ميراث است.

 

حكيم عمر خيام در شهر نيشابور متولد شد. وي رياضي دان، ستاره شناس، فيلسوف و شاعر مشهور ايراني بود كه به عنوان ستاره شناس در رصدخانه اصفهان مشغول به كار شد. خيام تقويم دقيقي به نام "تاريخ جلالي" را معرفي كرد. اين تقويم نسبت به تقويم گرجستاني ها بسيار دقيق تر و كامل تر بود و هنوز نيز در بسياري از كشورهاي شرقي به كار برده مي شود.

 

وي در زمينه ارايه هاي مثلثي كه امروزه با نام "مثلث پاسكال" شناخته مي شود، كار كرد. او كتابي با عنوان "جبر و مقابله" به دو زبان فارسي و عربي تاليف نمود [2] در اين كتاب معادلات را بر اساس درجه آنها طبقه بندي كرد و روشي براي حل معادلات درجه دوم ارائه داد كه با آنچه ما امروز به سراغ داريم بسيار مشابه است. خيام همچنين روشي هندسي براي حل معادلات درجه سوم با ريشه هاي حقيقي را معرفي نمود [1].

 

شهرت و آوازه حكيم عمر خيام به عنوان يك رياضي دان، تا حدودي تحت الشعاع كتاب شهر مشهور وي، "رباعيات" قرار گرفته است كه توسط ادوارد فيتز جرالد (Edvard fitzgerald) در اواسط قرن 19 ميلادي به زبان انگليسي ترجمه شد.

 

 

پي نوشت ها :

 

1- prof.Thomas J.osler, The Quadratic Equation as solved by persian Mathematicians of The Middle Ages

 

منابع:

 

[1]George Gheveghese Joseph, The crest of the peacock, penguin books, London-New york, 1991, page 303.

 

[2] Omar khayyam, Hakim Omar Khayyam as an Algebraist (Translated by from Arabic to Farsi by G.H. Massaheh), 2nd edition

 

[3] Muhammad Ben Musa Al-khwarazmi, (translated by Husayn kadiw-I Djam from Arabic to farsi), kitab al -Jabr wa l Muqabele, Farsi publication, Issue no.44, pubished by UNESCO in Iran, Tehran, 1983.

 

[4] V.S. Varadarajan, Algebra in the Ancient and Moderm Times , Hindustan Book Agency - AMS, Mathematical worls. volume 12, 1998, pages 45 and 65.

منبع: دانشمند شماره 579