رفتن به مطلب
اطلاعیه مهم: پایان فعالیت انجمن پس از 15 سال ×
اطلاعیه مهم: پایان فعالیت انجمن پس از 15 سال

تابع دلتای دیراک(Delta Function)

HaMiD.CFD

توسط HaMiD.CFD،
در معادلات دیفرانسیل

ارسال های توصیه شده

HaMiD.CFD    20379

HaMiD.CFD
ارسال شده در

تابع دلتا یک تابع تعمیم یافته (

برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید.
) است که می تواند در قالب حد یک دسته از دنباله های دلتا (
برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید.
) تعریف شود. تابع دلتا معمولا "تابع دلتای دیراک" یا "نماد ضربه" خوانده می شود (Bracewell 1999).

به طور مرسوم، Inline1.gif تابعی خطی از یک فضای (عموماْ به صورت یک فضای شوارتز Inline2.gif (

برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید.
) یا فضای همه ی توابع مسطح محمل های فشرده Inline3.gif در نظر گرفته می شود) توابع آزمون Inline4.gif است. کنش دلتا روی Inline4.gif معمولا با Inline7.gif یا Inline8.gif نشان داده می شود که برای هر تابع Inline10.gif. مقدار آن را در نقطه ی صفر بدست می دهد. در متون مهندسی، خصیصه ی تابعی تابع دلتا غالباْ نادیده گرفته می شود.

تابع دلتا را می توان به صورت مشتق تابع یکه ی هوی ساید (

برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید.
) نشان داد:

NumberedEquation1.gif

(Bracewell 1999, p. 94).

 

تابع دلتا دارای ویژگی بنیادین زیر است:

NumberedEquation2.gif

و، در واقع،

NumberedEquation3.gif

برای Inline11.gif.

اتحادهای دیگر، شامل

NumberedEquation4.gif

برای Inline12.gif و بعلاوه

Inline15.gifInline14.gifInline13.gif

Inline18.gifInline17.gifInline16.gif

می شوند.

به طور کلی تر، تابع دلتای تابعی از متغیر Inline19.gif به صورت زیر داده می شود:

NumberedEquation5.gif

که در آن، Inline20.gifها ریشه های Inline21.gif هستند. به عنوان مثال، برای تابع

NumberedEquation6.gif

داریم Inline22.gif که بنابراین Inline23.gif و Inline24.gif بدست می دهند:

NumberedEquation7.gif

تابع اصلی که مشتقات تابع دلتا Inline25.gif مشخص می کند، عبارت است از

NumberedEquation8.gif

با فرض Inline26.gif، در این تعریف، نتیجه می دهد:

Inline29.gifInline28.gifInline27.gif

Inline32.gifInline31.gif

Inline35.gifInline34.gif

که در آن جمله ی دوم به این دلیل از قلم افتاد که Inline36.gif، در نتیجه روابط بالا تساوی زیر را محقق می سازند:

NumberedEquation9.gif

در کل، رویه ای مشابه آنچه در بالا آمد، ما را به نتیجه ی بهتری می رساند

NumberedEquation10.gif

اما چون هر توان Inline37.gif ضربدر Inline38.gif در انتگرالگیری به صفر ختم می شود، لذا تنها جمله ی ثابت در انتگرالگیری شرکت می کند. از اینرو، همه ی جملات ضرب شده در مشتقات Inline39.gif صفر می شوند، و تنها Inline40.gif باقی می ماند که آن هم به معادله ی زیر می انجامد:

NumberedEquation11.gif

که بر رابطه ی زیر دلالت می کند:

NumberedEquation12.gif

 

منابع:

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 481-485, 1985.

Bracewell, R. "The Impulse Symbol." Ch. 5 in The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 69-97, 1999.

Dirac, P. A. M. Quantum Mechanics, 4th ed. London: Oxford University Press, 1958.

Gasiorowicz, S. Quantum Physics. New York: Wiley, pp. 491-494, 1974.

Kanwal, R. P. "Applications to Ordinary Differential Equations." Ch. 6 in Generalized Functions, Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 291-255, 1998.

Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 97-98, 1984.

Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Dirac Delta Function

Inline101.gif." Ch. 10 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 79-82, 1987.

van der Pol, B. and Bremmer, H. Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1955

  • Like 1
لینک به دیدگاه
رفتن به فهرست موضوع ها
×
×
  • اضافه کردن...