sookut 13735 اشتراک گذاری ارسال شده در 29 مهر، ۱۳۹۰ در ۱۳۲۸ خورشیدی، ریاضیدان هندی، Kaprekar، فرآیندی را ابداع کرد که به عملیات Kaprekar شهرت یافت. در این عملیات، ابتدا عددی ۴ رقمی بایستی انتخاب شود؛ با این شرط که تمام ارقام با یکدیگر یکسان نباشند (مثلا، انتخاب اعدادی مانند ۷۷۷۷ یا ۵۵۵۵ و … نقض شرط است). پس از انتخاب عدد، بایستی ارقام آن عدد را به صورت بزرگترین و کوچکترین عدد مرتب کنیم. مثلا، اگر عدد ۸۴۵۷ را انتخاب کردید، بزرگترین ترتیبش می‌شود: ۸۷۵۴ و کوچکترین ترتیب نیز می‌شود: ۴۵۷۸٫ سرانجام، بایستی این دو عدد را از یکدیگر کم کنیم تا عددی جدید به دست آید و این مرحله را تکرار کنیم. عملیات ساده‌ای است، اما Kaprekar متوجه موضوعی شگفت‌انگیز شد. اجازه دهید این عملیات را با عدد ۱۳۹۰ امتحان کنیم. وقتی که به عدد ۶۱۷۴ رسیدیم و اگر بخواهیم عملیات را ادامه دهیم در هر خط دوباره به عدد ۶۱۷۴ می‌رسیم. اجازه دهید این بار با عددی دیگر، مثلا با ۶۵۱۷ این عملیات را بررسی کنیم. عملیات اندکی طولانی‌تر می‌شود اما باز به همان نتیجه رسیدیم؛ یعنی عدد ۶۱۷۴٫ اگر اعداد دیگر را نیز امتحان کنید همواره به ۶۱۷۴ خواهید رسید؛ این همان اتفاق عجیبی بود که Kaprekar آن را کشف کرد. این عملیات حداکثر ممکن است ۷ مرحله تکرار شود. بیشتر اعداد ۴ رقمی بدون ارقام تماما یکسان (۲۱۲۴ عدد) سه مرحله‌ای به ۶۱۷۴ می‌رسند، پس از آن ۱۹۸۰ عدد ۷ مرحله‌ای به این نتیجه می‌رسند. مشابه این نتیجه‌ی منحصر به فرد تنها در اعداد سه رقمی تکرار شده است. بدین صورت که اگر همین عملیات را برای اعداد سه رقمی تکرار کنیم همواره به ۴۹۵ می‌رسیم. 4 لینک به دیدگاه
A.R-KH-A 4953 اشتراک گذاری ارسال شده در 29 مهر، ۱۳۹۰ در ادامه... Kaprekar discovered the Kaprekar constant or 6174 in 1949. برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام He showed that 6174 is reached in the limit as one repeatedly subtracts the highest and lowest numbers that can be constructed from a set of four digits that are not all identical. Thus, starting with 1234, we have 4321 − 1234 = 3087, then 8730 − 0378 = 8352, and8532 − 2358 = 6174. Repeating from this point onward leaves the same number (7641 − 1467 = 6174). In general, when the operation converges it does so in at most seven iterations. A similar constant for 3 digits is 495. برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام However, in base 10 a single such constant only exists for numbers of 3 or 4 digits; for more digits (or 2), the numbers enter into one of several cycles. برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام _____________________________________ و يه كشف جالبه ديگه.. به نام "اعداد كاپركار" [h=3]Kaprekar number[/h] Main article: برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام Another class of numbers Kaprekar described are the Kaprekar numbers. برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام A Kaprekar number is a positive integer with the property that if it is squared, then its representation can be partitioned into two positive integer parts whose sum is equal to the original number (e.g. 45, since 452=2025, and 20+25=45, also 9, 55, 99 etc.) However, note the restriction that the two numbers are positive; for example, 100 is not a Kaprekar number even though 1002=10000, and 100+00 = 100. This operation, of taking the rightmost digits of a square, and adding it to the integer formed by the leftmost digits, is known as the Kaprekar operation. Some examples of Kaprekar numbers in base 10, besides the numbers 9, 99, 999, …, are (sequence برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام ): [TABLE=class: wikitable] [TR] Number Square Decomposition [/TR] [TR] [TD] 703 [/TD] [TD] 703² = 494209 [/TD] [TD] 494+209 = 703 [/TD] [/TR] [TR] [TD] 2728 [/TD] [TD] 2728² = 7441984 [/TD] [TD] 744+1984 = 2728 [/TD] [/TR] [TR] [TD] 5292 [/TD] [TD] 5292² = 28005264 [/TD] [TD] 28+005264 = 5292 [/TD] [/TR] [TR] [TD] 857143 [/TD] [TD] 857143² = 734694122449 [/TD] [TD] 734694+122449 = 857143 [/TD] [/TR] [/TABLE] 2 لینک به دیدگاه
A.R-KH-A 4953 اشتراک گذاری ارسال شده در 29 مهر، ۱۳۹۰ [h=2]Examples[/h] 297 is a Kaprekar number for base 10, because 297² = 88209, which can be split into 88 and 209, and 88 + 209 = 297. By convention, the second part may start with the digit 0, but must be برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام . For example, 999 is a Kaprekar number for base 10, because 999² = 998001, which can be split into 998 and 001, and 998 + 001 = 999. But 100 is not; although 100² = 10000 and 100 + 00 = 100, the second part here is not positive. The first few Kaprekar numbers in base 10 are: برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام , برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام , برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام , برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام , برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام , 297, 703, برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام , 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام , 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, ... (sequence برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید. ورود یا ثبت نام ) In particular, 9, 99, 999… are all Kaprekar numbers. More generally, for any base b, there exist infinitely many Kaprekar numbers, including all numbers of the form bn - 1. 2 لینک به دیدگاه
ارسال های توصیه شده