تاریخچه هندسه

[.FatiMa 36559]

احتمالا بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب‌ را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.

 

 

در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلا هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.

یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استدلالی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالا از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به‌نام او مشهور است اثبات کند.

هندسه فضایی

مبانی ترسیم فنی و حجم شناسی

هندسه فضایی، از روابط بین نقاط و خطوط و صفحه ها در فضا بحث می کند. بنابراین برای داشتن تجسم فضایی مناسب، درک صحیح پرسپکتیوها و حجم شناسی (معماری، طراحی صنعتی، مجسمه سازی و نقاشی) درک و فهم هندسه فضایی (که پایه و مبنای رشته های مذکور است)، بسیار لازم و ضروری است. چرا که هندسه مسطحه که بر روی یک سطح (کاغذ) انجام می گیرد، حالت خاصی از هندسه فضایی است. ما با مفاهیم هندسه فضایی کار داریم و هرگز خود را درگیر مسایل تحلیلی و فرمولی آن نمی کنیم. اطمینان داشته باشید که پایه و الفبای یادگیری ترسیم فنی هنر، ترسیم فنی ساختمانی و صنعتی، پرسپکتیو ها و آگزونومتریک ها، هندسه فضایی است. برای کشیدن احجام و پرسپکتیو ها توسط کامپیوتر، شاید امروزه به خط کش و گونیا و تکنیک کشیدن پرسپکتیو و آگزونومتریک نیاز نباشد، ولی ساختن یک حجم هندسی نسبتا" پیچیده توسط کامپیوتر، بدون درک هندسه فضایی امکان پذیر نیست.

هندسه فضایی شما را وادار به تجسم و یافتن روابط بین نقاط و خطوط و صفحات در فضا می نماید. تجاربی که هندسه فضایی در اختیار می گذارد، شما را در داشتن تجسم بهتر یاری می دهد و می دانیم که خلاصه همه بحث ها در این درس (ترسیم فنی و حجم شناسی) مساوی است با: تجسم.

نقطه:

ساده ترین تعریفی که از نقطه داریم "اثر نوک مداد بر روی کاغذ" است. اما باید توجه داشت که از نظر تئوری، نقطه بدون بعد است. اثر مداد بر روی کاغذ، یک دایره بسیار کوچک خواهد بود. نقطه، آن دایره کوچک نیست، بلکه مرکز آن دایره است.

خط:

از اجتماع چند نقطه در کنار هم، خط بوجود می آید. اگر نقاط در یک امتداد قرار بگیرند، خط بوجود آمده، خط راست خواهد بود. پس خط را می توان یک مستطیل بسیار کشیده در نظر گرفت که طول آن برابر فاصله اولین نقطه تا آخرین نقطه آن است، ولی عرض آن فقط به اندازه بعد یک نقطه است و چون نقطه بعد ندارد، پس خط فقط دارای یک بعد در امتداد طولش است.

صفحه:

از اجتماع خطوط در یک امتداد و در کنار هم، صفحه تشکیل می شود. پس صفحه را می توان یک مکعب مستطیل در نظر گرفت که طول و عرض آن به خطوطی محدود می شود، ولی ارتفاع (ضخامت) آن به اندازه یک نقطه است و چون نقطه بعد ندارد، پس صفحه از لحاظ تئوری فقط دارای طول و عرض است و ضخامت ندارد. یعنی صفحه دو بعدی است.

فضا:

از اجتماع چند صفحه به موازات هم و در کنار هم، فضا بوجود می آید. البته فضا به خودی خود وجود دارد و منظور ما، فقط تصورش به این صورت است. مثلا مکعب یک جسم فضایی است که از اجتماع چندین صفحه مربع شکل در کنار هم تشکیل شده است. گفتیم که نقطه بدون بعد است. خط یک بعد (محور x) و صفحه دو بعد دارد (محورهای x و y). پس فضا دارای سه بعد است (محورهای x و y و x).

وقتی می خواهیم یک نقطه را روی یک خط نشان دهیم، با داشتن یک مقدار، یعنی x قابل شناسایی است. وقتی می خواهیم همان نقطه را روی یک صفحه پیدا کنیم باید دو مقدار x و y را داشته باشیم. همان نقطه در یک فضا باید دارای مقادیر x و y و z باشد تا قابل شناسایی شود.

مفهوم خط و صفحه در فضا:

وقتی که از خط و صفحه در یک فضا صحبت می کنیم، منظورمان از خط، خطی است که از دو طرف نامحدود است. در صورتی که خط به دو نقطه a و b محدود شود، دیگر خط نیست، "پاره خط" است. ولی از نظر لفظی عادت کرده ایم که بگوییم یا بنویسیم "خط ab" (در صورتی که پاره خط ab صحیح تر است). در مورد صفحه نیز به همین صورت است. صفحه از هر طرف نامحدود است، به طوری که اگر در یک فضا (که بی کران است)، یک صفحه فرض کنیم، این صفحه فضا را به دو قسمت تقسیم می کند. اگر صفحه ای به خطوطی از هر طرف محدود شود، بهتر است به آن "وجه" بگوییم.

نیم خط:

اگر نقطه ای روی یک خط در نظر بگیریم، خط توسط آن نقطه به دو نیم خط تقسیم شده است. به عبارت دیگر خطی که از یک طرف نامحدود و از طرف دیگر به نقطه ای محدود شده باشد، "نیم خط" نامیده می شود.

نیم صفحه:

اگر در یک صفحه، خط راستی را فرض کنیم، آن خط، صفحه را به دو نیم صفحه تقسیم کرده است. به عبارت دیگر صفحه ای که از یک طرف به یک خط محدود شده باشد، "نیم صفحه" نامیده می شود.

نیم فضا:

هرگاه در یک فضا، صفحه ای را در نظر بگیریم، آن صفحه فضا را به دو نیم فضا تقسیم کرده است. (به آن صفحه مرز نیم فضا می گویند). به عبارت دیگر فضایی که از یک سمت به صفحه ای محدود شده باشد، "نیم فضا" نامیده می شود.

ویژگی های نیم فضا:

• اگر دو نقطه در یک نیم فضا در نظر بگیریم، پاره خطی که آن دو نقطه را به هم وصل می کند، در همان نیم فضا واقع است.
  
• اگر یک نقطه در یک نیم فضا و نقطه ای دیگر در نیم فضای دیگر باشد، پاره خطی که این دو نقطه را به هم وصل می کند، مرز نیم فضا را در یک نقطه قطع می کند.
  

اوضاع نسبی دو خط در فضا:

• متقاطع (دو خط همدیگر را در یک نقطه قطع می کنند).
  
• موازی (دو خط در یک صفحه واقعند ولی با هم تقاطع نمی کنند).
  
• متنافر (دو خط با هم تقاطع نمی کنند و در یک صفحه نیستند. به عبارت دیگر نه موازی و نه متقاطعند).
  

اوضاع نسبی خط و صفحه:

• متقاطع (خط و صفحه همدیگر را در یک نقطه قطع می کنند).
  
• موازی (خط و صفحه هیچ نقطه اشتراکی ندارند).
  
• منطبق (خط روی صفحه است. حالت خاص توازی).
  

اوضاع نسبی دو صفحه:

• متقاطع (دو صفحه در یک خط راست اشتراک دارند).
  
• موازی (دو صفحه هیچ اشتراکی ندارند).
  
• منطبق (صفحه روی صفحه، حالت خاص توازی).
  

[.FatiMa 36559]

قضایا و مسائل هندسه فضایی:

• بر سه نقطه غیر واقع بر یک خط راست، فقط و فقط یک صفحه می گذرد.
  
• بر دو خط متقاطع، فقط و فقط یک صفحه می گذرد.
  
• فصل مشترک دو صفحه متقاطع، یک خط راست است.
  
• اگر خطی با یکی از خطوط صفحه موازی باشد، با آن صفحه موازی است.
  
• هر گاه خطی با صفحه ای موازی باشد، هر صفحه ای که بگذرد و با صفحه مفروض موازی نباشد، آن صفحه را در خطی قطع می کند که با خط مفروض موازی است.
  
• اگر خطی با صفحه ای موازی باشد، هر خطی که از یک نقطه صفحه، موازی آن رسم شود، بر آن صفحه منطبق است.
  
• اگر صفحه ای یکی از دو خط موازی را قطع کند، دیگری را نیز قطع خواهد کرد.
  
• هرگاه خطی با صفحه ای موازی باشد، هر خط موازی با آن خط نیز با آن صفحه موازی است.
  
• دو خط راست موازی با خط سوم، خود موازیند.
  
• اگر خطی با دو صفحه متقاطع موازی باشد، با فصل مشترک آن دو صفحه موازی است.
  
• اگر دو صفحه موازی باشند، هر خط واقع در یک صفحه، با صفحه دیگر موازی است.
  
• هرگاه دو خط غیر موازی از صفحه ای با دو خط از صفحه دیگر موازی باشند، آن دو صفحه موازیند.
  
• اگر دو صفحه با صفحه سومی موازی باشند، خود موازیند.
  
• اگر صفحه ای یکی از دو صفحه موازی را قطع کند، صفحه دیگری را نیز قطع می کند. و فصل مشترک های آن با دو صفحه، دو خط موازیند.
  
• همه خط های هم راسی که با یک صفحه موازی هستند، بر صفحه ای موازی با آن صفحه قرار دارند.
  
• پاره خط های موازی محصور بین دو صفحه موازی، متساویند.
  
• پاره خط های موازی که محصور بین یک خط و صفحه موازی هستند، با هم مساویند.
  
• هرگاه در فضا، اضلاع دو زاویه، نظیر به نظیر موازی و هم جهت باشند، آن دو زاویه مساویند.
  
• زاویه دو خط متنافر: زاویه حاده یا قائمه ای است که از یک نقطه به موازات آن دو خط متنافر رسم می شود. اگر زاویه قائمه باشد، می گوئیم دو خط متنافر بر هم عمودند.
  
• خط عمود بر صفحه: یک خط را عمود بر صفحه گوییم، هرگاه بر تمام خطوط واقع در آن صفحه عمود باشد.
  
• اگرخطی بر دو خط ناموازی از صفحه ای عمود باشد، بر هر خط دیگر از آن صفحه و در نتیجه بر صفحه عمود است.
  
• بر هر نقطه واقع بر یک خط راست یا در خارج آن، یک صفحه و فقط یک صفحه عمود بر آن خط می توان رسم کرد.
  
• بر هر نقطه، یک خط و فقط یک خط، عمود بر صفحه مفروض عبور می کند.
  
• دو خط عمود بر یک صفحه با هم موازیند.
  
• فاصله نقطه از خط : فاصله یک نقطه از یک خط، عبارت از طول عمودی است که از آن نقطه بر خط رسم می شود.
  
• فاصله نقطه از صفحه: فاصله یک نقطه از یک صفحه عبارت از طول عمودی است که از آن نقطه بر صفحه رسم می شود و این کوتاهترین فاصله نقطه تا صفحه است.
  
• فاصله دو صفحه موازی: عبارتست از طول عمودی که از یک نقطه واقع در یک صفحه، بر صفحه دیگر رسم می شود.
  
• فرجه: هرگاه دو نیم صفحه در مرز مشترک باشند، فضای بین آنها را فرجه می گوییم. به مرز مشترک (خط مشترک) آنها "یال"، و به صفحه های آنها "وجه" می گوییم.
  
• زاویه مسطحه فرجه: هرگاه از نقطه ای مانند o روی یال دو وجه فرجه، دو خط عمود (ox و oy) بر یال رسم کنیم، به طوریکه هر یک از عمودها در یکی از وجه های فرجه واقع شود، زاویه بین این دو عمود را زاویه مسطحه فرجه می نامند. به عبارت دیگر اگر صفحه ای را عمود بر یال فرجه بگذرانیم، زاویه ای را که از تقاطع فرجه روی این صفحه تشکیل می شود، زاویه مسطحه فرجه گوییم.
  
• زاویه دو صفحه: اگر دو صفحه، متقاطع باشند، از تقاطع آنها چهار فرجه پدید می آید که دو به دو باهم برابرند و زاویه دو صفحه، زاویه مسطحه فرجه حاد یا قائمه بین دو صفحه می باشد.
  
• اگر خطی بر صفحه ای عمود باشد، هر صفحه ای که بر آن خط بگذرد، بر صفحه مفروض عمود است.
  
• اگر دو صفحه بر هم عمود باشند، هر خط که در یکی از آنها بر فصل مشترکشان عمود باشد، بر صفحه دیگر عمود است.
  
• اگر دو صفحه بر هم عمود باشند، هر خط عمود بر یکی از آنها با دیگری موازی است.
  
• اگر دو صفحه متقاطع، بر صفحه ای عمود باشند، فصل مشترک آنها بر آن صفحه عمود است. (و برعکس).
  
• بر هر خط که بر صفحه ای عمود نباشد، یک صفحه و فقط یک صفحه (نه بیشتر)، عمود بر صفحه مفروض می گذرد.
  
• تصویر یک خط راست بر یک صفحه، یک خط راست است به شرط آنکه بر آن صفحه عمود نباشد. (اگر بر صفحه عمود باشد، تصویرش یک نقطه خواهد بود).
  
• برای یافتن تصویر یک خط بر یک صفحه، کافی است که بر آن خط، صفحه ای بگذرانیم که بر صفحه مفروض عمود باشد. فصل مشترک این دو صفحه، خطی است که همان تصویر خط مذکور است.
  
• اگر دو خط باهم موازی باشند، تصویر آنها بر هر صفحه ای باهم موازی یا بر هم منطبق است.
  
• اگر دو پاره خط باهم موازی و مساوی باشند، تصویر آنها بر هر صفحه ای باهم موازی و مساوی است.
  
• تصویر وسط هر پاره خط، وسط تصویر همان پاره خط است.
  
• تصویر زاویه قائمه بر صفحه ای که با یک ضلع آن موازی و بر ضلع دیگر آن عمود نباشد، یک زاویه قائمه است. (اگر بر ضلع دیگر عمود باشد، یک خط می شود).
  
• هرگاه تصویرهای دو خط بر یک صفحه، بر هم عمود باشند و یکی از آن دو خط با صفحه تصویر موازی باشد، آنگاه آن دو خط بر یکدیگر عمودند.
  
• هرگاه تصویر زاویه قائمه ای بر یک صفحه، زاویه قائمه باشد، حداقل یکی از اضلاع آن زاویه با صفحه تصویر موازی است.
  
• عمود مشترک دو خط متنافر: پاره خطی است که دو سر آن واقع بر دو خط متنافر و بر هر دو عمود می باشد. عمود مشترک دو خط متنافر، کوتاهترین پاره خط بین این دو خط است.
  
• مرکز تقارن یک حجم: هرگاه در یک حجم، نقطه ای پیدا شود که قرینه هر نقطه از حجم نسبت به آن بر خود حجم واقع شود، به آن نقطه مرکز تقارن می گوییم.
  
• محور تقارن یک حجم: هرگاه در یک حجم بتوان خطی پیدا کرد که قرینه هر نقطه از حجم نسبت به آن خط بر خود حجم واقع شود، به آن خط، محور تقارن گوییم.
  
• کنج: اجتماع چند زاویه را که در یک ضلع و راس، مشترک و هیچ دو زاویه ای در یک صفحه واقع نباشد، کنج گوییم.
  
• مشخصات کنج: راس مشترک را راس کنج و هریک از اضلاع زاویه ها را یال کنج و صفحه هر زاویه را وجه کنج گوییم.
  
• کنج منتظم: به کنجی می گوییم که زاویه وجه های آن باهم برابر باشند.
  
• کنج سه قائمه: کنج سه وجهی که زاویه های آن قائمه باشد. (مکعب، ۸ کنج سه قائمه دارد).
  
• هرم: هرگاه از لبه های یک شکل مسطح هندسی به نقطه ای خارج از صفحه شکل هندسی وصل کنیم، هرم حاصل می شود.
  
• منشور: هرگاه یک شکل مسطح هندسی را توسط برداری غیرموازی با صفحه شکل هندسی جابجا کنیم و سپس لبه های شکل اول را با خطوطی موازی با جهت جابجایی به لبه های شکل دوم وصل کنیم، منشور حاصل خواهد شد.
  
• منشور قائم: منشوری است که یال ها بر قاعده عمود است.
  
• منشور مایل: منشوری است که یال ها بر قاعده عمود نیست.
  
• مقطع هرم، با هر صفحه موازی با قاعد، یک چند ضلعی است که با قاعده متشابه است.
  
• اگر دو صفحه موازی باشد، هر خط موازی با یکی از آنها، با دیگری نیز موازی است.
  
• اگر یکی از دو خط موازی، بر صفحه ای عمود باشد، دیگری نیز بر آن صفحه عمود است.
  
• همه خط هایی که از یک نقطه می گذرند و با خطی زاویه قائمه تشکیل می دهند، در صفحه ای هستند که بر خط مفروض عمود است. (توجه کنید که دو خط عمود بر هم لزومی ندارد متقاطع باشند. ممکن است متنافر باشند).
  
• اگر یکی از دو صفحه متوازی، بر صفحه ای عمود باشد، دیگری نیز بر آن صفحه عمود است.
  
• مقطع های دو صفحه موازی با سطح منشوری، دو چند ضلعی مساوی است.
  

[.FatiMa 36559]

برای آزمون قدرت تجسم خویش، به سوالات زیر پاسخ دهید:

• چگونه عمود مشترک دو خط متنافر را بوسیله صفحات و تقاطع آنها پیدا کنیم؟
  
• بر یک نقطه خارج از یک صفحه، چند خط موازی با آن صفحه می توان رسم کرد؟
  
• بر یک نقطه خارج از یک خط، چند صفحه موازی با آن خط می گذرد؟
  
• یک خط، بین یک نقطه و صفحه قرار گرفته است. اگر آن نقطه، مرکز یک لامپ باشد، سایه خط بر روی صفحه چگونه به دست می آید؟ در چه صورت خط با سایه اش که بر روی صفحه است موازی خواهد بود؟
  
• بر یک نقطه خارج از یک صفحه، چند صفحه موازی با آن صفحه می توان در نظر گرفت؟
  
• آیا بر خطی غیر موازی با یک صفحه، می توان صفحه ای گذراند که با صفحه مذکور موازی باشد؟ عمود چطور؟
  
• در هر نقطه از یک خط، چند عمود بر آن خط می توان در نظر گرفت؟ (بحث ما در فضا است).
  
• از هر نقطه واقع در خارج یک خط، چند خط مرور می کند که با آن زاویه قائمه بسازد؟ (خطوط متنافر فراموش نشود).
  
• از هر نقطه واقع در خارج یک صفحه، چند صفحه عمود بر آن صفحه می گذرد؟
  
• دو نقطه A و B روی سطح یک کره می باشند. چند نقطه روی کره می توان پیدا کرد که از این دو نقطه به یک فاصله باشند؟ (مکان هندسی این نقاط چه شکلی خواهند داشت؟)
  

برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید.

• ورود
• یا
• ثبت نام