جستجو در تالارهای گفتگو

احتمالا بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب‌ را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد. در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلا هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند. یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استدلالی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالا از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به‌نام او مشهور است اثبات کند. هندسه فضایی مبانی ترسیم فنی و حجم شناسی هندسه فضایی، از روابط بین نقاط و خطوط و صفحه ها در فضا بحث می کند. بنابراین برای داشتن تجسم فضایی مناسب، درک صحیح پرسپکتیوها و حجم شناسی (معماری، طراحی صنعتی، مجسمه سازی و نقاشی) درک و فهم هندسه فضایی (که پایه و مبنای رشته های مذکور است)، بسیار لازم و ضروری است. چرا که هندسه مسطحه که بر روی یک سطح (کاغذ) انجام می گیرد، حالت خاصی از هندسه فضایی است. ما با مفاهیم هندسه فضایی کار داریم و هرگز خود را درگیر مسایل تحلیلی و فرمولی آن نمی کنیم. اطمینان داشته باشید که پایه و الفبای یادگیری ترسیم فنی هنر، ترسیم فنی ساختمانی و صنعتی، پرسپکتیو ها و آگزونومتریک ها، هندسه فضایی است. برای کشیدن احجام و پرسپکتیو ها توسط کامپیوتر، شاید امروزه به خط کش و گونیا و تکنیک کشیدن پرسپکتیو و آگزونومتریک نیاز نباشد، ولی ساختن یک حجم هندسی نسبتا" پیچیده توسط کامپیوتر، بدون درک هندسه فضایی امکان پذیر نیست. هندسه فضایی شما را وادار به تجسم و یافتن روابط بین نقاط و خطوط و صفحات در فضا می نماید. تجاربی که هندسه فضایی در اختیار می گذارد، شما را در داشتن تجسم بهتر یاری می دهد و می دانیم که خلاصه همه بحث ها در این درس (ترسیم فنی و حجم شناسی) مساوی است با: تجسم. نقطه: ساده ترین تعریفی که از نقطه داریم "اثر نوک مداد بر روی کاغذ" است. اما باید توجه داشت که از نظر تئوری، نقطه بدون بعد است. اثر مداد بر روی کاغذ، یک دایره بسیار کوچک خواهد بود. نقطه، آن دایره کوچک نیست، بلکه مرکز آن دایره است. خط: از اجتماع چند نقطه در کنار هم، خط بوجود می آید. اگر نقاط در یک امتداد قرار بگیرند، خط بوجود آمده، خط راست خواهد بود. پس خط را می توان یک مستطیل بسیار کشیده در نظر گرفت که طول آن برابر فاصله اولین نقطه تا آخرین نقطه آن است، ولی عرض آن فقط به اندازه بعد یک نقطه است و چون نقطه بعد ندارد، پس خط فقط دارای یک بعد در امتداد طولش است. صفحه: از اجتماع خطوط در یک امتداد و در کنار هم، صفحه تشکیل می شود. پس صفحه را می توان یک مکعب مستطیل در نظر گرفت که طول و عرض آن به خطوطی محدود می شود، ولی ارتفاع (ضخامت) آن به اندازه یک نقطه است و چون نقطه بعد ندارد، پس صفحه از لحاظ تئوری فقط دارای طول و عرض است و ضخامت ندارد. یعنی صفحه دو بعدی است. فضا: از اجتماع چند صفحه به موازات هم و در کنار هم، فضا بوجود می آید. البته فضا به خودی خود وجود دارد و منظور ما، فقط تصورش به این صورت است. مثلا مکعب یک جسم فضایی است که از اجتماع چندین صفحه مربع شکل در کنار هم تشکیل شده است. گفتیم که نقطه بدون بعد است. خط یک بعد (محور x) و صفحه دو بعد دارد (محورهای x و y). پس فضا دارای سه بعد است (محورهای x و y و x). وقتی می خواهیم یک نقطه را روی یک خط نشان دهیم، با داشتن یک مقدار، یعنی x قابل شناسایی است. وقتی می خواهیم همان نقطه را روی یک صفحه پیدا کنیم باید دو مقدار x و y را داشته باشیم. همان نقطه در یک فضا باید دارای مقادیر x و y و z باشد تا قابل شناسایی شود. مفهوم خط و صفحه در فضا: وقتی که از خط و صفحه در یک فضا صحبت می کنیم، منظورمان از خط، خطی است که از دو طرف نامحدود است. در صورتی که خط به دو نقطه a و b محدود شود، دیگر خط نیست، "پاره خط" است. ولی از نظر لفظی عادت کرده ایم که بگوییم یا بنویسیم "خط ab" (در صورتی که پاره خط ab صحیح تر است). در مورد صفحه نیز به همین صورت است. صفحه از هر طرف نامحدود است، به طوری که اگر در یک فضا (که بی کران است)، یک صفحه فرض کنیم، این صفحه فضا را به دو قسمت تقسیم می کند. اگر صفحه ای به خطوطی از هر طرف محدود شود، بهتر است به آن "وجه" بگوییم. نیم خط: اگر نقطه ای روی یک خط در نظر بگیریم، خط توسط آن نقطه به دو نیم خط تقسیم شده است. به عبارت دیگر خطی که از یک طرف نامحدود و از طرف دیگر به نقطه ای محدود شده باشد، "نیم خط" نامیده می شود. نیم صفحه: اگر در یک صفحه، خط راستی را فرض کنیم، آن خط، صفحه را به دو نیم صفحه تقسیم کرده است. به عبارت دیگر صفحه ای که از یک طرف به یک خط محدود شده باشد، "نیم صفحه" نامیده می شود. نیم فضا: هرگاه در یک فضا، صفحه ای را در نظر بگیریم، آن صفحه فضا را به دو نیم فضا تقسیم کرده است. (به آن صفحه مرز نیم فضا می گویند). به عبارت دیگر فضایی که از یک سمت به صفحه ای محدود شده باشد، "نیم فضا" نامیده می شود. ویژگی های نیم فضا: اگر دو نقطه در یک نیم فضا در نظر بگیریم، پاره خطی که آن دو نقطه را به هم وصل می کند، در همان نیم فضا واقع است. اگر یک نقطه در یک نیم فضا و نقطه ای دیگر در نیم فضای دیگر باشد، پاره خطی که این دو نقطه را به هم وصل می کند، مرز نیم فضا را در یک نقطه قطع می کند. اوضاع نسبی دو خط در فضا: متقاطع (دو خط همدیگر را در یک نقطه قطع می کنند). موازی (دو خط در یک صفحه واقعند ولی با هم تقاطع نمی کنند). متنافر (دو خط با هم تقاطع نمی کنند و در یک صفحه نیستند. به عبارت دیگر نه موازی و نه متقاطعند). اوضاع نسبی خط و صفحه: متقاطع (خط و صفحه همدیگر را در یک نقطه قطع می کنند). موازی (خط و صفحه هیچ نقطه اشتراکی ندارند). منطبق (خط روی صفحه است. حالت خاص توازی). اوضاع نسبی دو صفحه: متقاطع (دو صفحه در یک خط راست اشتراک دارند). موازی (دو صفحه هیچ اشتراکی ندارند). منطبق (صفحه روی صفحه، حالت خاص توازی).