جستجو در تالارهای گفتگو

درود ب شما مطالعه کننده عزیز. حل عددی تقریبی معادلات با مشتقات جزئی و معادلات انتگرالی موضوع اصلی این علم هست. همون طور ک میدونین معادلات حاکم بر طبیعت، اکثرا چند متغیر مستقل دارند؛ ب این گروه معادلات PDE میگن مثال معروف هم متغییر مکان و دما درون یک دیسک هست ک در حال حرارت دیدن ه. یعنی هر چه از مرکز دورتر میشیم علاوه بر تغییر مکانی که داریم انجام میدیم، حرارتی هم ک در مرکز قرار داره کم و کمتر میشه و در حال تغییر هست. در این بین، معادلاتی ک یک متغیره باشند خیلی کم هستن، ب این گروه معادلات ODE میگن. خوب پس تا اینجا متوجه شدیم ک: " طبیعت رو میشه بر حسب تغییراتی ک با زمان داره و یا با مکان داره به صورت روابطی نوشت ک میزان نقش این متغییر ها ( زمان، مکان و غیره ) رو در شکل گیری رفتار اون پدیده مشخص کرد ک ما این سیستم مشخص شده رو "معادلات دیفرانسیل" می گیم. مشخص شد که پیدا کردن معادلات حاکم بر سیستم، خودش یک فرآیند دقیق و گاها پیچیده است! بهتره کمی ریزتر بشیم. هر معادله ای، دو طرف تساوی داره. با فرض اینکه معادله از نوع تک متغیره باشه، خواهیم داشت: الف) ODE معادلات معمولی (تک متغییر مستقل) رو در با توجه به ماهیتشون به روشهای مختلف حل می کنن میشه این معادلات رو به معادلات 1- خطی و 2- غیر خطی تقسیم کرد. که از روش های حل معادلات خطی میشه موراد زیر رو داشت: 1- معادله مرتبه اول 2- معادله مرتبه دوم و بالاتر روش کلی حل معادلات مرتبه اول هم روشهایی مثل معادلات کامل، خطی، ریکاتی، برنولی و غیره است. تا اینجا ما یک طرف معادله رو داریم! یعنی اگر معادله برابر با صفر نباشه، برای پیدا کردن جواب قسمت دوم؛ ی سری روش هست مثل: اپراتور معکوس، لاگرانژ و ضرایب نامعین. و .... ( این مباحث اکثرا در درس معادلات دیفرانسل دوره لیسانس ب خوبی پوشش داده میشه ) ب) PDE معادلات با مشتقات جزیی رو هم به صورت کلی ب دو گروه می شه تقسیم بندی کرد: 1- خطی 2-غیرخطی اما حل کردن و بدست آوردن پیش بینی های رفتار سیستمی که داریم، از حالت معادلات دیفرانسل معمولی کمی پیچیده تر و گاها نشدنی هست! معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی رو به طور کلی به کمک تبدیل ب معادلات معمولی حل میکنیم. روشهای مختلف از جمله به کارگیری سری فوریه، برای مشخص کردن جواب بر حسب آرگومان هایی از سینوس و کسینوس و .... ( این مباحث در درس ریاضیات مهندسی پیشرفته بررسی میشن) همون طور ک احتمالا می دونستید و یا الان کمی متوجه شدن؛ داستان بدست آوردن معادلات حاکم و بعد بدست آرودن جواب این معادلات برای پیش بینی رفتار پدیده ها خیلیییییییییییی پیچیده، خسته کننده و وقت گیره! جواب دقیق خیلی از معادلات حاکم بر طبیعت رو نمی تونیم با ریاضی به صورت حل دقیق و تحلیلی داشته باشیم و مجبوریم بریم سراغ های حل های تقریبی و عددی. خوب موضوع درس المان محدود، همینه و به دنبال پاسخ این سوال هستیم ک: چطور و چگونه؟