تئوری الاستیسیته (Elasticity Theory)

[Ehsan 112346]

تئوری الاستیسیته یکی از مباحث مهم مکانیک جامدات هست که در تمامی دانشگاه های دنیا در مقاطع تحصیلات تکمیلی مکانیک جامدات به عنوان یک درس بنیادین تدریس میشود.

 

 

در این شاخه از مکانیک جامدات به بررسی دقیق تنش و کرنش در یک جسم تحت بارگذاری پرداخته میشود و جنبه ریاضیاتی آن برای رسیدن به دقیق ترین پاسخ ها، اهمیت زیادی دارد.

 

 

فرق تئوری الاستیسیته با مقاومت مصالح در اینست که در مقاومت مصالح ما با روش هایی به ساده سازی مسائل کاربردی میپردازیم که در الاستیسیته این ساده سازی ها را کنار خواهیم گذاشت.

 

 

اما همچنان فرض میشود که با یک جسم صلب سر و کار داریم که یکپارچه عمل میکند.

 

 

 

این تاپیک میتواند منبع و مرجع بسیار خوبی برای علاقمندان به این علم باشد، تمامی مطالب توسط اینجانب و بدون کپی برداری از جایی نوشته میشود و اگر کسی سئوالی هم داشت میتواند در این تاپیک مطرح کند.

 

 

متداول ترین منابع پیشنهادی برای این درس کتاب های ugural , timeshenko , saad میباشد.

.

.

.

اما مباحثی که در این تاپیک به آن میپردازیم :

 

 

 

تغییرات تنش داخل یک جسم

 

 

تنش های اصلی

 

 

کرنش و تغییر مکان

 

 

روابط سازش (Compatibility equation)

 

 

مسائل دومحوری در الاستیسیته

 

 

تابع تنش (Stress Function)

 

 

روابط کرنش-تغییر مکان در مختصات قطبی

 

 

توزیع تنش حول سوراخ در ورق

 

 

اعضای تحت بار متقارن محوری (Axisymmetrically loadaed members)

 

 

پوسته استوانه ای جدار ضخیم

 

 

دیسک دوار

 

 

کره جدار ضخیم

 

 

تنش های حرارتی

 

 

تشابه غشایی پراندتل (Prandtl Membrane Stress)

 

 

پیچش مقاطع جدار نازک باز

 

 

پیچش مقاطع جدار نازک بسته

 

 

روش های انرژی

 

 

تئوری کاستیگلیانو

 

 

خمش تیرها

[Ehsan 112346]

تغییرات تنش داخل یک جسم :

 

 

 

نیروهای خارجی عمل کننده روی یک جسم به نیروهای سطحی (Surface force) و نیروهای حجمی (Body Force) تقسیم میشوند.

 

 

نیروهای سطحی به صورت نیروهای متمرکز و یا گسترده روی سطح جسم وارد می آیند.

 

 

نیروهای حجمی نیروهایی هستند که بر همه ذرات جسم اثر میکنند مانند وزن، نیروی گریز از مرکز و جاذبه های مغناطیسی.

 

 

رفتار جسم به صورت تغییر ابعاد و یا در برخی موارد شکست آن، تابع توزیع نیروهای داخلی است که خود بستگی به سیستم نیروهای خارجی دارد.

 

 

برای بررسی رفتار جسم، نخست باید تنش را شناخت و سپس آنرا تحلیل کرد.

 

 

با گرفتم یک المان از جسم به قوانین تعادل مطابق زیر میرسیم :

 

 

 

[Ehsan 112346]

مثال :

 

 

دامنه تنش در یک محدوده الاستیک مطابق زیر داده شده است و هدف پیدا کردن نیروهای حجمی برای برقراری تعادل میباشد.

 

 

 

[Ehsan 112346]

حالت تنش سه محوری در یک نقطه :

 

 

 

برای به دست آوردن سه تنش اصلی هر نقطه از جسم، نیاز هست تا ریشه های معادله (1) در شکل زیر را بیابیم.

 

 

I1 , I2 , I3 را پایاهای تنش گویند که بر حسب مولفه های تنش های نرمال و برشی وارد بر یک نقطه مطابق رابطه (2) به دست می آیند.

 

 

 

[Ehsan 112346]

روابط سازش (Compatibility Equations) :

 

 

 

اگر یک جسم الاستیک، قبل از تغییر شکل به مکعب های کوچکی تقسیم شود و پس از اعمال بار این مکعب ها به چند وجهی تبدیل شوند، چند وجهی ها وقتی میتوانند جسم اصلی را در حالت تغییر شکل یافته درست کنند که مولفه های کرنش، در روابط سازش صادق باشند.

 

 

روابط سازش بر حسب کرنش ها در فضای سه بعدی عبارتند از :

 

 

 

[Ehsan 112346]

روابط تعادل در مختصات قطبی عبارتند از :

 

 

 

معادلات کرنش - تغییر مکان در مختصات قطبی عبارتند از :

[Ehsan 112346]

تابع تنش ایری (Airy's Stress Function) :

 

 

 

با در نظر گرفتن معادلات تعادل و چشم پوشی از نیروهای حجمی، معادلات تعادل به صورت a خواهند شد.

 

اگر این معادلات در معادله سازش قرار گیرند، معادله b به دست خواهد آمد.

 

 

ایری با تعریف یک تابع تنش Q نشان داد، که این تابع تنش، معادلات تعادل و سازش را ارضا میکند.