جهان رياضيات در فضاي نانو

[d-a-r-y-a 133]

علوم نانو و فناوري نانو بيانگر رهگذري به سوي دنيايي جديد هستند. سفر به اعماق سرزمين اتمها و مولكولها نويد دهندة اثراث اجتماعي شگفت‌انگيزي است: در علوم بنيادين، در فناوريهاي نو، در طراحي مهندسي و توليدات، در پزشكي و سلامت و در آموزش.

پيش‌بيني‌هاي گسترده در حوزه كشفيات جديد، چالشها، درك مفاهيم، حتي هنوز فرم و محتواي موضوع، مه‌آلود و اسرارآميز است. اين مقاله مي‌كوشد تاچالشهاي دنياي رياضيات را در مواجهه با دنياي شگفت‌انگيز نانو بررسي كند. به عبارت ديگر، رياضيات در معماري پازل نانو چه نقشي خواهد داشت ؟

همگان بر اين نكته توافق دارند كه پيشرفتهاي بزرگ، مستلزم تعامل ميان مهندسان، ژنتيست‌ها، شيميدانان، فيزيكدانان، داروسازان، رياضيدانان و علوم رايانه اي ها است. شكاف ميان علوم و فناوري، ميان آموزش و پژوهش، ميان دانشگاه و صنعت، ميان صنعت و بازار بر مجموعه تأثيرگذار خواهد بود. دلايل كافي مبتني بر فصل مشترك ميان نظامهاي كلاسيك و فرهنگ ها موجود است.

 

اين انقلاب علمي و فناورانه، منحصر به فرد است. اين بدين معني است كه مي‌بايستي نه تنها در بعد علمي، كه در ساير ابعاد، نيز زيرساختهاي بنيادين با حداكثر انعطاف پذيري در برابر تغييرات را پيش‌گويي و پيش‌بيني كنيم.

دانش رياضيات به عنوان خط مقدم جبهة علم مطرح است. ويژگي بديهي رياضيات در علوم نانو «محاسبات علمي» است. محاسبات علمي در فناوريي كه به عنوان فناوري انقلابي مطرح شده است. محاسبات علمي در طول، تفسير آزمايشات، تهية پيش‌بيني در مقياس اتمي و مولكولي بر پاية تئوري كوانتومي و تئوريهاي اتمي است.

همانگونه كه رياضيات زبان علم است، محاسبات، ابزاري عمومي علم و كاتاليزوري براي تعاملات عميق‌تر ميان رياضيات و علوم است. يك تيم محاسبات، دربارة مدلشان و اثر محاسباتشان و تطبيق‌پذيري آن با واقعيت، به بحث مي‌پردازند. «‌محاسبات» رابطي ميان آزمايش و تئوري است. يك تئوري و يك مدل رياضي، پيش نياز محاسبات است و يك آزمايش تنها اعتبار بخش هر نوع تئوري، مدل و محاسبات است.

 

مدلهاي رياضي، ستونهاي راهگشا به سوي بنياد علم و تئوريهاي پيش بين هستند. مدلها، رابطهايي بنيادين در پروسه‌هاي علمي هستند و اغلب اوقات در سيستم‌هاي آموزشي به فاز مدلسازي و محاسبات، تأكيد كافي نمي‌شود. يك مدل رياضي بر پاية فرمولاسيون معادلات و نامعادلات اصول بنيادين استوار است و مدل درگير با درك كامل پيچيدگيهاي مسأله نظير، جرم، اندازة حركت و توازن انرژي است. در هر سيستم فيزيكي واقعي تقريب اجازه داده مي‌شود، تا مدل را در يك قالب قابل حل عرضه كنند. اكنون مي‌توان مدل را يا به صورت «تحليلي» و يا بصورت «عددي» حل كرد. در اين حالت مدلسازي رياضي يك پروسه پيچيده است،زيرا مي‌بايستي دقت و كارآيي را همزمان نشان دهد.

 

در علوم نانو و فناوري نانو، مدلسازي نقش محوري را بر عهده دارد، بويژه وقتي كه بخواهيم عملكرد ماكروسكوپي مواد را از طريق طراحي در مقياس اتمي و مولكولي كنترل كنيم، آن هم در شرايطي كه درجات آزادي زياد باشد. مدلسازي رياضي يك ضرورت در اين فضاي مه آلود است. تفسير داده‌هاي آزمايشگاهي يك ضروت حتمي است. همچنين براي هدايت، تفسير، بهينه سازي، توجيه رفتارهاي آزمايشگاهي، مدلسازي رياضي ضرورت مي‌يابد.

يك مدل مؤثر، راه رسيدن به توليدات جديد، درك جديد رفتارشناسي، را كوتاه مي‌كند و تصحيح گر هوشمندي است كه از نتايج گذشته درس مي‌گيرد.

مدلسازي نه تنها ويژگي منحصر به فرد رياضيات است بلكه پلي بسوي فرهنگهاي مختلف علمي است.

تئوري در هر مرحله از توسعة علم، نقش محوري دارد، ارزيابي حساسيت مدل به شرايط پروسه‌هاي فيزيكي ، و حصول اطمينان از اينكه معادلات و الگوريتمهاي محاسباتي با شرايط كنترل آزمايشگاهي سازگارند، از چالشهاي مهم است. تئوري نهايتاً بسوي تعريف نتايج و درك فيزيكي سيستم، ميل خواهد كرد و اغلب اوقات رياضيات جديدي لازم نيست تا به منظور رسيدن به درك رفتار، ساخته شود.

عبور از تئوريهاي موجود ارزشمند است و اغلب نيز اتفاق مي‌افتد. زماني مدلها، مشابه سيستم‌هاي شناخته شده هستند كه دقت رياضي بالايي را داشته باشند اما در جهان شگفت ‌انگيز نانو، مدلهاي مختلف و جديد، چالشهاي جدي را در دانش رياضيات پديد مي‌آورند. تئوريهاي جديد در مقياسهاي زماني غير قابل پيش‌گوئي اتفاق مي‌افتند و تئوريهاي قدرتمند در قالبهاي عميق شكل مي‌گيرند. ميان‌برهاي اساسي لازم است تا شبيه‌سازي صورت گيرد:

طراحي در مقياس اتمي و مولكولي، كنترل و بهينه سازي عملكرد مواد و ابزار آلات، و كارآيي شبيه‌سازي رفتار طبيعي، از مهمترين چالشها است. اين چالش‌ها نويد دهندة برهم كنشهاي كامل ميان حوزه‌هاي مختلف رياضي خواهد بود.

آثار اجتماعي اين چالش‌ها زياد و متنوع خواهد بود.

منافع حاصل از مشغوليت رياضيدانان فعال، توازن با چالشهاي اصلي در زمينه رشد زيرساختهاي رياضيات، تغييرات در ساختار آموزش رياضيات، از جمله آثار ورود رياضيات به دنياي شگفت انگيز نانو خواهد بود.

جامعه رياضي مي‌بايستي اصلاح شود: تئوريهاي بنيادين، رياضيات ميان رشته‌اي و رياضيات محاسباتي و آموزش رياضيات.

رياضيات چه حوزه‌هايي را در بر خواهد گرفت؟ الگوريتمهاي اصلي در حوزه‌هاي رياضيات كاربردي و محاسباتي، علوم كامپيوتر، فيزيك آماري، نقش مركزي و ميان بر ساز را در حوزة نانو بر عهده خواهند داشت.

 

براي روشن شدن موضوع برخي از اثرات رياضيات را در فرهنگ نانو بررسي مي‌كنيم:

ـ روشهاي انتگرال گيري سريع و چند قطبي سريع: اساسي و الزامي به منظور طراحي كدهاي مدار (White, Aluru, Senturia) و انتگرال گيري به روش Ewala در كد نويسي در حوزه‌هاي شيمي كوانتوم و شيمي مولكولي (Darden ????)

ـ روشهاي« تجزيه حوزه»، مورد استفاده در شبيه‌سازي گسترش فيلم تا رسيدن به وضوح نانوئي لايه‌هاي پيشرو مولكولي با مكانيك سيالات پيوسته در مقياسهاي ماكروسكوپيك (Hadjiconstantinou)

ـ تسريع روشهاي شبيه سازي ديناميك مولكولي (Voter ????)

ـ روشهاي بهبود مش‌بندي تطبيق پذير: كليد روشهاي شبيه پيوسته كه تركيب كنندة مقياسهاي ماكروئي، مزوئي، اتمي ومدلهاي مكانيك كوانتوم از طريق يك ابزار محاسباتي است (Tadmor, Philips, Ortiz)

ـ روشهاي پيگردي فصل مشترك: نظير روش نشاندن مرحله‌اي Sethian, Osher كه در كدهاي قلم زني و رسوب‌گيري جهت طراحي شبه رساناها مؤثرند (Adalsteinsson, Sethian) و نيز در كدگذاري به منظور رشد هم بافت ها (Caflisch)

ـ روشهاي حداقل كردن انرژي هم بسته با روشهاي بهينه سازي غير خطي (الماني كليدي براي كد كردن پروتيئن‌ها) (Pierce& Giles)

ـ روشهاي كنترل (مؤثر در مدلسازي رشد لايه نازك‌ها (Caflisch))

ـ روشهاي چند شبكه‌بندي كه امروزه در محاسبات ساختار الكتروني و سيالات ماكرومولكولي چند مقياسي بكار گرفته شده است.

ـ روشهاي ساختار الكتروني پيشرفته ، به منظور هدايت پژوهشها به سمت ابر مولكولها (Lee & Head – Gordon)