روش المان محدود- fem

[EN-EZEL 13039]

روش المان محدود (Finite Element Method) یک تکنیک محاسباتی برای یافتن حل عددی تقریبی معادلات دیفرانسیل پاره ای می باشد که امروزه کاربردهای فراوانی در صنعت یافته است. در این روش با حذف کامل معادلات دیفرانسیل (برای مسائل حالت پایا) و یا تبدیل آن به معادلات دیفرانسیلی معمولی مقادیر عددی بدست می آیند و از آن برای تحلیل سیستمهای مختلف بهره برده می شود.

همانطور که می دانید بسیاری از مسائل مهندسی همچون انتقال حرارت و مکانیک سیالات ارتعاشات و ... پس از مدل شدن تبدیل به یک معادله ی دیفرانسیلی پاره ای می شوند. که حل آنها به صورت جبری بسیار وقت گیر و پیچیده است.

در حل معادلات دیفرانسیلی اولین چالش یافتن معادلاتی است که معادله ی اصلی را تقریب زده و از لحاظ عددی قابل اعتماد باشند.حتما از محاسبات عددی به خاطر دارید که وقتی داده ها را در چندین فرمول وارد و خارج می شوند در طی هر مرحله مقداری خطای آنها بالا می رود. و همیشه تلاش می شود همه ی فرمولها را یکباره به کار گیرند تا این مشکل کمتر خود را نشان دهد.بسیار پیش می آید که جواب نهایی عددی هیچ معنی و مفهوم درست و منطقی ندارد.

روشهای زیادی برای حل عددی معادلات دیفرانسیل پاره ای وجود دارد و ریاضی دانان در این زمینه بیکار ننشسته اند.اما روشی که امروزه بیشتر از همه بکار گرفته شده و کاربرد آن در صنعت بیش از همیشه خود را نشان داده است روش المان محدود است که بسیاری از نرم افزار های تجزیه و تحلیل مهندسی همچون انسیس ،آباکوس و نسترن از آن بهره می برند.

 

• برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید.

  • ورود
  • یا
  • ثبت نام
  کاربردها
  

مهندسی مکانیک بیشترین استفاده را از روش المان محدود می برد. بسیاری از مسائل فنی مهندسی مکانیک در شاخه های مکانیک سیالات ،انتقال حرارت و تحلیل سازه های همچون خرپاها از این روش قابل حل و تجزیه و تحلیل می باشند. تحلیلات مربوط به تنش و کرنش اجزاء مکانیکی و ارتعاشات که در مهندسی مکانیک اهمیت فراوانی دارند همه از این طریق به راحتی قابل انجام هستند.

 

 

• بهره وری
  

اینکه این روش چگونه حاصل شده و اثبات آن چیست کاربردی بر مهندسان مکانیک نخواهد داشت.اما مهندسان مکانیک باید با روشهایی که یک مدل فیزیکی با معادله ی دیفرانسیل پاره ای را به معادلات جبری ساده تر تبدیل می کند آشنا باشند.گرچه همه ی این کارها امروزه توسط نرم افزارها به سرعت انجام می شود اما اگر قرار است کار با یکی از نرم افزارهای تحلیل المان محدود همچون فلوئنت و انسیس را شروع کنید بهتر است از مثالهای ساده شروع کنید و خودتان دستی چند مسئله را مدل کرده و با ماشین حساب دستی حل کنید.

خیلی خوب خواهد بود اگر بتوانید به جواب برسید. گرچه فصولی در کتابهایی مثل انتقال حرارت به این موضوع اختصاص داده شده است اما نباید فقط به آنها اکتفا کنید.

برای مشاهده این محتوا لطفاً ثبت نام کنید یا وارد شوید.

• ورود
• یا
• ثبت نام

خیلی زود درخواهید یافت مسائل پیچیده ی جبری که در ریاضیات مهندسی با آن همه مشقت حل می کردید! در اینجا از لحاظ جبری بسیار ساده تر حل می شوند اما در عوض با تعداد فراوانی معادله روبرو خواهید شد که مثلا لازم خواهید شد هفتاد معادله با هفتاد مجهول را حل کنید. اینجاست که زبان های برنامه نویسی چون متلب کاربردشان در مهندسی مکانیک به شما نشان خواهند داد.

مشکل دیگری که در روش المان محدود وجود دارد انتخاب خود المان است.تاثیر شگرفی این مسئله در جواب نهایی خواهد داشت شما را حیرت زده می کند.درباره ی این موضوع در آینده بیشتر بحث خواهیم کرد.

برای طراحی در مهندسی مکانیک شما حتما به یکی از نرم افزارهای تحلیل به روش المان محدود نیاز خواهید داشت. و هنگامی خواهید توانست از اینگونه نرم افزارها به درستی استفاده کنید که المان را بخ درستی انتخاب کنید. در نهایت انتخاب المان هم به این بر می گردد که شما از لحاظ نظری چقدر با این روش آشنا هستید.پیشنهاد می کنم از همین امروز مطالعاتی را در این زمینه انجام دهید.

[EN-EZEL 13039]

[h=2]آموزش المان محدود (مقدماتی)[/h] المان محدود امروزه کاربردهای فراوانی در شاخه های مختلف مهندسی پیدا کرده است. اگرچه در ابتدا برای محاسبات سازه ها (structures) از آن استفاده شد اما هم اکنون در محاسبات انتقال حرارت،مکانیک سیالات،الکترومغناطیس و ... فواید خود را نشان داده است.

در انتقال حرارت،ما مسائل توزیع دما را با کمک المان محدود و گرفتن شرایط مرزی و اولیه به راحتی محاسبه می کنیم و فرقی نمی کند که شرایط پایا هستند و یا با زمان تغییر می کنند.در مکانیک سیالات از تحلیل جریان تراکم ناپذیر پایا گرفته تا جریان بسیار آشفته تراکم پذیر همه از موضوعاتی است که تا المان محدود به کارمان خواهد آمد.

المان محدود روشی عددی برای حل مجموعه از معادلات حاکم بر سیستم های فیزیکی پیوسته است . در ادامه چند روش از نحوه ی کارکرد المان محدود روی تیرها و خرپاها مورد بررسی قرار می گیرند.

برای اینکه هر جسم در روش المان محدود تحلیل شود ابتدا می بایست آن را به اجزای کوچکتری که المان (Element) نامیده می شود تقسیم کنیم.این اجزا یا المانها، در تعداد نقاط محدودی به هم اتصال پیدا می کنند که به آنها گیره (Node) گفته می شود.ما معادلات حاکم بر حرکت هر یک از نودها را بدست آورده و به صورت همزمان (چند معادله ی چند مجهولی) حل می کنیم و آخر با تحلیل جواب های عددی معادلات ، نتایج مورد نظر بدست می آیند.

با بدست آمدن حل عددی معادلات حاکم بر هریک از نودهای اطراف یک المان ،رفتار آن المان مشخص می شود و در آخر با کنار هم قرار دادن نتایج حاصل از همه ی المانها، رفتار یک سیستم فیزیکی تحت عملی خاص بدست می آید.

از آنجا که سیستم فیزیکی به المانها و گیره ها تقسیم می شود، همه ی بارها و اثرات خارجی (شرایط مرزی) نیز می بایست تبدیل به مقادیر گیره ای و المانی شوند. نیروهای متمرکزی چون F بر یک نود اعمال می شوند اما نیروهای فشاری چون P به صورت مساوی به هر یک از نودهای محدوده ی اثر، اعمال خواهند شد. محدودهی اتصالات ثابت مثل زمین که در شکل به صورت هاشور نمایش داده شده اند نیز دارای معادلات خاص برای جابجایی خواهند بود.

از آنجا که این محاسبات عددی هستند و میزان خطای آنها بسیار مهم است باید گفت تا اینجا حداقل دو منبع خطا شکل گرفتند،اول اینکه حل در نظر گرفته شده با کمک المانها با مقادیر واقعی آن دقیقا مطابقت نمی کند. هر چه المان در نظر گرفته شده مناسبتر باشد ،میزان خطای محاسبت کمتر خواهد بود.خوشبختانه بسیاری از حل ها با کوچکتر کردن اندازه ی المان دقیقتر می شوند.اما همیشه اینگونه نخواهد بود. خطای بعدی ، میزان دقت معادله ی جبری است که ما ادعا می کنیم بر شرایط فیزیکی حاکم است. ما همیشه با در نظر گرفتن فرضیاتی ، معادله ی حاکم را ساده تر میکنیم و این خود مقداری خطا بوجود می آورد.باید به خاطر داشته باشیم حل المانهای محدود به شدت به کامپیوتر و برنامه نویسی رایانه ای وابسته است و نباید شرایط حاکم بر رایانه ها و روش های بکار رفته در آنها برای انجام محاسبات را فراموش کنیم.

نرم افزارهای حل المان محدود موجود در بازار کتابخانه ای انواع المانها و معادلات حاکم بر این المانها را تهیه می کنند و با توجه به شی فیزیک که شما معرفی می کنید آنها را کنار هم قرار داده و به صورت عددی حل می کنند. برای مواردی چون تیرها و خرپاها این معادلات با کمترین خطا در دسترس هستند اما برای موارد بسیاری در مکانیک سیالات و انتقال حرارت همچنان مطالعات در دست انجام است.(ادامه دارد...)