جستجو در تالارهای گفتگو

استخراج معادلات حركت ژيروسكوپ معادلاتی که در این نوشتار آمده اند از بخشهای مختلف کتاب درسی مکانیک مهندسی استاتیک و دینامیک ویرایش سوم ISBN 0-02-354140-7 نوشته هایبلر برداشت شده است... Derivation of The Equations Of Gyroscopic Motion معادلاتي كه در اين نوشتار آمده اند از بخشهاي مختلف كتاب درسي مكانيك مهندسي استاتيك و ديناميك ويرايش سوم ISBN 0-02-354140-7 نوشته هايبلر برداشت شده است. اگر خواننده بخواهد موضوع را عميق تر كاوش كند مقدمتاً لازم است كه فصلهاي 20 و21 مبحث ديناميك را به طور روشن درك كرده باشد.بدين منظور ما شما را به كتاب درس هايبلر ارجاع مي دهيم. ما معادلات را با اصلاحات جزئي و با نظر شخصي خود يكجا گردآوري نموده ايم. به اميد آنكه استنتاج روان و سليسي از معادلات حركت ژيروسكوپ بر پايه F = ma معادله اصلي ديناميك فراهم آورده و اين مطلب را به طور پيوسته و هدفمند بيان كرده باشيم. كار را با معادله مشهور بين نيرو جرم وشتاب نيوتن براي يك ذره آغاز مي كنيم كه يك كميت برداري را نشان مي دهد. F = ma سيگما اين معادله بيان مي دارد كه برآيند نيروهاي خارجي وارد بر يك ذره برابر است با حاصلضرب جرم در شتاب آن. در حقيقت فرمولاسيون اصلي نيوتن نيروهاي خارجي وارد بر ذره را به گشتاور خطي آن مرتبط مي سازد. 'mv = سيگماF Vدر اينجا بيانگر سرعت dv/dt نيز بيانگر نرخ تغيير سرعت در واحد زمان يا بعبارتي همان 'v 'mv نيز نرخ تغييرات گشتاور خطي نسبت به زمان مي باشد. اگر r را بعنوان بردار موقعيت ذره در نظر بگيريم و O را بعنوان مبدا مختصات با در نظر گرفتن مبدا مختصات گشتاور زاويه اي ميتوانيم Ho ذره را با ضرب خارجي هر دو سمت اين معادله در r بدست آوريم 'r x SF = r x mv ( SMo) يا بعبارتي r x SF برابر با مجموع گشتاور نيروهايي كه حول نقطه مبدا اثر مي كنند خواهد بود پس ميتوان نوشت: 'SMo = r x mv Ho = r x mv با داشتن مومنتوم (گشتاور) زاويه اي ذره مشتقHo را نسبت زمان بدست مي آوريم d(Ho)/dt = d(r x mv)/dt 'H'o = r' x mv + r x mv بر اساس 'v = dr/dt = r خواهيم داشت: 'H'o = r' x mr' + r x mv از آنجايي كه حاصلضرب خارجي دو بردار معادل صفر خواهد بود r' x mr' = m(r' x r') = 0 بنابر اين: 'H'o = r x mv با جايگذاري معادله در جمع گشتاورها داريم: SMo = H'o از اين رو مجموع و برآيند گشتاورهاي يك ذره متحرك حول نقطه مبداء برابر با نرخ تغييرات گشتاور زاويه اي نسبت به زمان خواهد بود. براي سيستم ذرات مي بايست برآيند گشتاور تمام نيروهاي موثر بر ذرات را محاسبه نمود. در معادله زير : Si[(r x SF)i + (r x Sf)i] = Si[H'o]i Sf برآيند همه ذرات موجود در سيستم مي باشد بر اثرنيروهاي داخلي موثر بر ذره iام از نيروهاي داخلي صرف نظر مي شود از اين رو كه دقيقاً معادل با يكديگر منتهي در دو سوي مخالف عمل مي كنند بنابراين Si(r x Sf)i = 0 و معادله اي كه تا اينجا براي سيستم ذرات استنتاج مي شود به همان فرم و شكل معادله اي است كه براي يك ذره به كار ميرود: Si[r x SF]i = Si[H'o]i SMo = H'o بعبارت ديگر بيان مي دارد كه مجموع گشتاورها حول نقطه مبداء بر اثر وجود نيروهاي خارجي بر سيستم ذرات برابر است با نرخ تغييرات گشتاور زاويه اي سيستم ذرات حول همان نقطه مبداء. به وضوح در مي يابيم كه اين معادله براي هر سيستم پيكره جامد ذرات صادق است و از اين رو مي توانيم اين معادله را در تحليل ژيروسكوپ نيز به كار ببنديم. چيزي كه اكنون براي توضيح و بيان گشتاور زاويه اي Ho لازم است اين است كه ما مي توانيم مقادير فيزيكي نظير جرم شعاع و سرعت زاويه اي و شتاب زاويه اي و مشتق زماني آن H'oرا اندازه بگيريم. و سرعت زاويه اي Dm اگر در نظر بگيريم كه يك ذره در پيكره داراي جرم اضافي نسبت به مبداء و چارچوب مرجع ميباشد:w با دانستن اينكه v = w x r مي توان نوشت: [DHo]i = r x Dmivi [DHo]i = [r x (w x r)]iDmi با جمع همه گشتاورهاي زاويه اي براي تمامي ذرات پيكره داريم: Si[DHo]i = Si[r x (w x r)]iDmi اگر دلتا را حول مبداء بگيريم آنگاه Dmi و D [Ho]i مقادير فوق ديفرانسيلي خواهند شد و مي توانيم سيگما را با انتگرال جايگزين نماييم . ما در اينجا z را جاي به كار بردن علامت معمولي انتگرال به كار برده ايم. چرا كه علامت معمولي انتگرال را در دسترس نداشتيم. zHodHo = zmr x (w x r) dm Ho = zmr x (w x r) dm آنگاه مي توانيم xyz را حول مرجع و مبداء در نظر بگيريم اگر سه محور k و j و i و سرعت زاويه اي امگا را در مولفه هاي r و شعاع Ho مطابق زير بيان نماييم: Ho = Hx i + Hy j + Hz k r = x i + y j + z k w = wx i + wy j + wz k با جايگذاري براي Ho در انتگرال مذكور خواهيم داشت: Hx i + Hy j + Hz k = zm(x i + y j + z k) x [(wx i + wy j + wz k ) x (x i + y j + z k)]dm با محاسبه ضرب خارجي و تركيب عبارتهاي فوق خواهيم داشت: Hx i + Hy j + Hz k = [wxzm(y2+z2)dm - wyzmxy dm - wzzmxz dm] i + [- wxzmxy dm + wyzm(x2+z2)dm - wzzmyz dm] j + [- wxzmzx dm - wyzmyz dm + wzzm(x2+y2)dm] k بنابر اين با محاسبه انتگرال گشتاورها ي اينرسي و ضرب اينرسي ها مي توانيم معادله را به فرم زير بازنويسي كنيم: Hx = + Ixxwx - Ixywy - Ixzwz Hy = - Iyxwx + Iyywy - Iyzwz Hz = - Izxwx - Izywy + Izzwz اگر سيستم مختصات دو بعدي يا سه بعدي را انتخاب نماييم و تحليل پيكره را با محور مختصات سه بعدي انجام دهيم آنگاه حاصل همه ضربهاي محورهاي متعامد برابر با صفر خواهند شد و معادله به صورت زير مختصر مي شود: Hx = Ixxwx Hy = Iyywy Hz = Izzwz زمانيكه محورها به شكلي كه توضيح داده شد انتخاب شوند اين مقادير اصل محورهاي اينرسي ناميده مي شوند. را در اختيار داريم و سرعت زاويه اي امگا نيز مي تواند اندازه گيري شود.Ho اكنون ما گشتاور زاويه اي كه به جرم و ابعاد پيكره بستگي دارد كه مي توان در جدول يافت يا به صورت دستي محاسبه نمود. تحليلي كه از ژيروسكوپ ارائه داديم در صورتي كه سيستم مختصات دست كم دو يا سه بعدي را براي ژيروسكوپ انتخاب نماييم به مراتب ساده تر خواهد شد. اگر سيستم انتخاب شده بدين منظور لحاظ شده باشد آنگاه تمامي حاصلضربهاي اينرسي برابر با صفر خواهند شد و ما تنها مي بايست گشتاورهاي اينرسي را محاسبه نماييم.براي انجام چنين كاري ما از سيستم مختصات چرخان استفاده خواهيم كرد كه مبداء آن نقطه ء پايين و تكيه گاه چرخش مي باشد. سيستم مختصات چرخان از حركت محوري چرخش پيروي مي كند و با چرخش خود انحراف زاويه اي از محور نخواهد داشت.