معادلات لایه مرزی

[Just Mechanic 27,854]

[h=2][/h]

معادلات لایه مرزی

پیش بینی و بررسی جریان سیال برای مطالعات مهندسی در زمینه انتقال حرارت و مکانیک سیالات از اهمیت زیادی برخوردار است. به طور کلی بررسی حرکت سیال از طریق مطالعات تجربی و تئوری امکان پذیر می باشد. حل معادلات مربوط به لایه مرزی و به دست آوردن پارامترهای لایه مرزی همواره مورد توجه بوده است و روش های متعدد تجربی ، تحلیلی و عددی برای محاسبه این پارامترها توسط افراد مختلف به کار گرفته شده است. البته معادلات مذکور در حالت کلی با دشواری زیاد همراه بوده و با در نظر گرفتن فرضیات مناسب سعی در حل معادلات شده است.

استنباط معادلات لایه مرزی شاید یکی از مهمترین پیشرفت ها در مکانیک سیالات باشد.با استفاده از یک سری تحلیل های مقداری ، توابع معروف ناویر استوکس سیال ویسکوز، جریان میتواند در طول لایه مرزی ساده شود.به طور برجسته مشخصه معادلات دیفرانسیل جزئی بیشتر از بیضی همه معادلات ناویراستوکس سهمی وار شدند.این حل معادلات را ساده می کند. با ساخت تخمینی لایه مرزی ، جریان به یک بخش غیر ویسکوز(که با روش های متعددی حل آن ساده است) و لایه مرزی که تابعی برای حل PDE می باشد. پیوستگی و معادلات ناویر استوکس برای یک جریان تراکم ناپذیر پایای دوبعدی در مختصات کارتزین عبارت است از :

 

 

 

که در آن u و V اجزای سرعت ، ρ چگالی ، P فشار ، و ν ویسکوزیته جنبشی سیال در یک نقطه می باشند.

حالت های نزدیکی که برای یک عدد رینولدز به اندازه کافی بالا، جریان می تواند روی یک سطح به یک ناحیه خارجی جریان غیرویسکوز ساده شده به وسیله ویسکوزیته ( بیشتر جریان ) ، و یک ناحیه نزدیک به سطح که ویسکوزیته در آن مهم است(لایه مرزی) تبدیل شود. بگذارید U و V به ترتیب سرعت های جریان معقول و متقاطع درون لایه مرزی باشند.با استفاده از تحلیل های مقیاسی ، می توان نشان داد که معادلات کاهش حرکت بالا درون لایه مرزی می شود :

 

 

 

و اگر سیال تراکم ناپذیر باشد( به عنوان مثال مایعاتی که زیر شرایط استاندارد هستند):

 

 

تحلیل های asymptotic همچنین نشان می دهد که V ، سرعت متقاطع ، در مقایسه با u ، سرعت معقول ، کوچکتر می باشد و آن اختلافات در ویژگی ها در جهت جریان معقول معمولاً خیلی پایین تر از جهت جریان متقاطع می باشد.

تا زمانی که فشار استاتیکی p مستقل از yاست ، فشار لبه لایه مرزی فشار سراسر لایه مرزی در یک موقعیت جریان معقول داده شده است.فشار اضافی ممکن است از میان یک کاربردمعادله برنولی به دست آید. u0 را سرعت سیال خارج از لایه مرزی ، جایی که u و u0 هر دو موازی هستند قرار دهید.اگر P را جاگذاری کنیم :

 

 

با شرط مرزی :

 

 

برای یک جریان فشار استاتیکی P در جهت جریان تغییر نمی کند پس :

 

بنابراین u0 ثابت می ماند :

در نتیجه معادله حرکت ساده می شود :

 

 

این تخمین ها در یک نوع مسائل جریان کاربردی علمی و منافع مهندسی استفاده شده اند. تحلیل های بالا برای هر لایه مرزی لمینار یا توربولانس می باشد. اما عمدتاً در مطالعات جریان لمینار استفاده شده است نظر به اینکه جریان اصلی جریان آنی است زیرا درصد نوسان سرعتی وجود ندارد.