موسیقی و ریاضیات

[d-a-r-y-a 133]

یونان باستان موسیقی و ریاضیات (حساب و هندسه) در کنار نجوم تشکیل علوم چهارگانه را می دادند، درواقع یونانیان قدیم به این چهار شاخه از علوم به دیده ریاضیات نگاه می کردند.

 

در آن دوران از تمدن بشری موسیقی بعنوان علمی مطرح بود که توسط آن روابط و نسبت های ریاضی به عمل تجربه می شد و به موسیقی در مدارس به اندازه حساب، هندسه و نجوم بها داده شده، دانش آموزان مجبور بودند در موسیقی نیز به انداز سه علم دیگر کسب معلومات کنند.

 

تقسیم بندی علوم در یونان قدیم

یونانیان قدیم از ریاضیات بعنوان علم مطالعه تغییر ناپذیرها یاد می کردند. آنها این مقوله علمی را به دو دسته بزرگتر یعنی علوم مربوط به مقادیر مجزا (discreet) و مقادیر پیوسته (continued) تقسیم بندی کرده بودند.

 

مقادیر مجزا شامل دو علم از علوم چهارگانه یعنی حساب و موسیقی بود. آنها مقوله های مربوط به حساب را معادل بررسی مقادیر قابل شمارش و مجزای مستقل می دانستند و موسیقی را بررسی مقادیر مجزایی که با یکدیگر در تناسب و ارتباط هستند می دانستند.

 

در مقابل علوم مقادیر مجزا، علوم مقادیر پیوسته وجود داشت که شامل هندسه و نجوم بود. هندسه به بررسی سکون و نجوم به بررسی هرآنچه به حرکت مربوط میشد می پرداخت.

 

بنابراین همانگونه که از این تقسیم بندی (به شکل توجه کنید) بر می آید جایگاه موسیقی هم ردیف سایر شاخه های علم ریاضی بوده است. اما در یک کلام شاید بتوان علم موسیقی ای را که یونانیان باستان تعریف کرده اند علمی دانست که به بررسی روابط میان صداهای خوشایند و ناخوشایند (در اینجا منظور consonance و dissonance) است، نامید.

 

اکتشافات فیثاغورث و پیروان او در باره نت های موسیقی

اولین کشف دانشمندان یونان آن بود که اصوات موسیقی ای که فرکانس آنها مضاربی از یکدیگر هستند همواره بصورت خوشایند شنیده می شوند. بسیاری از دانشمندان و حتی مردم عادی متوجه بودند که هنگامی که دو صدای موسیقی با یکدیگر اجرا می شوند لزوما" احساس خوبی را در انسان ایجاد نمی کنند.

 

آنها همچنین متوجه شده بودند که یکی از مهمترین نسبت های فرکانسی نسبت 1:2 یا همان اکتاو است که طی آن نسبتهایی مانند 2:3 (پنجم) یا 3:4 (چهارم) یا 4:5 (سوم بزرگ) و 5:6 (سوم کوچک) تکرار می شود. یونانیان بخوبی به زیبایی صداهایی که با این نسبت ها بطور همزمان پخش می شدند آگاه بودند و فیثاغورث از جمله کسانی بود که رابطه ریاضی و خوشصدایی موسیقی را در میان تارهای صوتی مورد بررسی قرار داد. در واقع آنها دریافته بودند که نسبتهای x:x+1 برای x های کوچکتر از 10 و بزرگتر از صفر نسبتهایی است که نتیجه آن فاصله هایی خوش صدا هستند.

 

تمام این موارد که به نوعی از آنها می توان به عنوان پایه های دانش هارمونی یاد کرد، از دغدغه های علم موسیقی از زمان فیثاغورثیان تا اوایل قرون وسطی بوده است. شاید بزرگترین سئوال آنها این بود که چرا نمی توانند با استفاده از کنار هم قرار دادن نسبت هایی که از آنها نام بردیم به اولین نسبت خوش صدا کشف شده یعنی 1:2 یا اکتاو برسند. (در واقع این نشان می دهد که متاسفانه نسبت x به x+1 هرگز نمی تواند یک نسبت صحیح باشد.)

 

اما ناگفته نماند که فیثاغورثیان کشف کرده بودند که اگر شش فاصله 9:8 (که همان یک پرده است) را کنار هم قرار دهید به نتی می رسید که تقریبا" با نت اول نسبت 1:2 دارد. (در واقع باید نسبت 9:8 را به توان شش برسانید که نتیجه چیزی حدود 2.0273 می شود.)

 

در هر صورت هر آنچه بود سالها گذشت تا باخ تصمیم گرفت که این نسبت ها را معتدل کند و مشکلاتی را که از روز اول فیثاغورثیان - به درست - پایه گذار آنها بودند را رفع کند. در گام معتدل باخ هر اکتاو به 12 نیم پرده تقسیم می شود که نیم پرده های متوالی با یکدیگر نسبت ریشه دوازدهم عدد 2 را دارا هستند! تحت این شرایط فاصله پنجم گام معتدل باخ معادل هفت فاصله نیم پرده بوده که کمی کمتر از فاصله فیثاغورثی است(یعنی ریشه دوازدهم عدد 2 به توان 7).

 

جمع بندی

اما نکته ای که در پایان این بحث باید به آن اشاره کرد آن است که هرچند باخ برای ساده تر کردن مسائل مربوط به کوک موسیقی گام معتدل خود را ارائه کرد، اما باید اعتراف کرد که کوک کردن سازها با فاصله هایی متناسب با ریشه دوازدهم عدد 2 (که نتیجه عددی گنگ است) عملا" باعث شد که موسیقیدان ها برای کوک کردن سازهای خود از دستگاهایی استفاده کنند که نه تنها نمی توانند بصورت دقیق این نسبت ها را مشخص کنند (چون نسبتها گنگ بودند) بلکه بتدریج رابطه احساسی موسیقیدان با این نسبت های زیبای ریاضی در طول زمان به فراموشی سپرده شد، بگونه ای که امروزه بسیاری از نوازندگان و موسیقیدانان از ارتباط میان فاصله های موسیقی با نسبت های فیثاغورثی بی خبر هستند

[d-a-r-y-a 133]

ریاضیات و موسیقی هر یک بنوبه خود از ابتدای خلقت در مسیر تکامل تمدن بشری نقش موثری داشته اند. ریاضیات بطور مستقیم با پیشرفت گونه های مختلف علوم تجربی، نظری، مهندسی و ... در ارتباط بوده و موسیقی علاوه بر تاثیر مستقیم بر سایر هنرها، همه روزه درحال تعامل با انسان در تمام نقاط جهان است بگونه ای که امروزه از آن حتی بعنوان یک ابزار برای جهت دادن به پدیده های اجتماعی ، سیاسی و فرهنگی استفاده می شود.

 

برای بسیاری از مردم که با ریاضیات سر و کاری ندارند، فرمول ها و قوانین ریاضی بسیار خشک و پیچیده بنظر می رسد و گاهی هم بعنوان رمز یا رازی که میان یک سری اعداد، نشانه ها و علائم عجیب و غریب است، مطرح می شود. بسیاری از مردم - حتی آنها که با ریاضی در ارتباط هستند - معتقدند که ریاضیات یک علم عقلی است و حداکثر توانایی آن مدل سازی پدیده های فیزیکی است، حال آنکه اگر به مسائل و رخدادهای اجتماعی نگاهی بیندازیم بسادگی خواهیم دید که مثلا" توزیع پدیدهای - متغییرهای - تصادفی اجتماعی غالبا" از رفتار توزیع نرمال "گوس" پیروی میکنند، بنابر این نمی توان به این صراحت از ریاضیات بعنوان یک علم نظری محض نام برد.

 

ریاضیات عقلی در مقابل موسیقی احساسی

اما اگر ریاضیات با عقل انسان در ارتباط است، موسیقی را می توان از مهمترین هنرهایی دانست که بسادگی روح آدمی را تحت تاثیر خود قرار میدهد که خوشبختانه امروزه در جوامع مختلف بصورت بسیار زیادی با زندگی عجین شده است. همه ما حداقل یک قطعه موسیقی را از حفظ بلد هستیم و به هنگام خلوت، هنگام کار یا رانندگی و ... آنرا زمزمه می کنیم. حتی درصد بالایی از مردم توانایی نوازندگی و خوانندگی بصورت آماتور و یا حرفه ای را دارا میباشند. موسیقی در یک نگاه ساده هنری است که تمام مردم می توانند بسادگی با آن تعامل داشته باشند.

 

اما چگونه ممکن است ریاضیات که علمی کاملا" عقلی است با موسیقی که هنری کاملا" احساسی است، مشابهت هایی با یکدیگر داشته باشند و یا حتی در برخی زمینه ها همگرایی هایی؟

 

 

تحقیقات نشان داده که موسیقی مهارت

مغز در حل مسائل فکری را بیشتر میکند

 

 

مشخصترین ترین ارتباط میان موسیقی و ریاضی

اولین دخالتی که ریاضیات می تواند در موسیقی انجام دهد از آنجا ناشی می شود که موسیقی ناشی از تکرار برخی اصوات - یا نت های موسیقی - در بازه زمان است. طول مدت نتها را می توان اندازه گرفت و به روابطی میان آنها در بازه زمان دست پیدا کرد. همانند آنچه در تحلیل ریتم های مختلف انجام می شود.

 

 

مسئله دیگر بررسی ارتباط فرکانسی میان نت های مختلف موسیقی و ارتباطات میان نت های موسیقی و زیبایی شناسی است که اغلب در مباحث مربوط به فیزیک صوت بررسی می گردد. این ارتباط همچنین می تواند به تحلیل ریاضی گونه از انواع سبک های هارمونی و یا انواع روشهای ساخت ملودی از روی موتیف مشخص و ... باشد.

 

اما آیا ارتباط موسیقی و ریاضیات در همین حد یعنی مدل کردن رفتار موسیقی با کمک روابط ریاضی است؟

 

نتایج برخی تحقیقات جدید

بدون شک سخن نا آشنایی نخواهد بود اگر بگوییم که تحقیقات دانشمندان (New Scientist شمار 153) نشان داده است، کودکانی که پیانو می نوازند و آموزش موسیقی می بینند معمولا" :

 

- توانایی بیشتری در درست کردن پازل های پیچیده دارند،

- خیلی بهتر از سایر کودکان شطرنج بازی می کنند،

- و دارای قدرت استنتاج بیشتری هستند.

 

همچنین در بررسی دیگری (The American Mathematical Monthly شماره 103) مشاهده شده است که بیش از 68 درصد دانشجویان رشته ریاضی از کلاسهای موسیقی بعنوان دروس اختیاری برای فارغ التحصیل شدن اختیار می کنند. نتیحه این بررسی رابطه نا شناخته میان موسیقی و ریاضی را تا حد زیادی آشکار میکند.

 

در ادامه مطالبی که در اینباره خواهیم نوشت قصد آن داریم تا بطور خلاصه به روابط پنهان میان موسیقی و ریاضیات بپردازیم و دلیلی بر این موضوع بیاوریم که چرا اغلب موسیقیدانان به ریاضیات و کارهای فکری علاقه دارند و یا اینکه چرا تقریبا" تمام ریاضی دانان به موسیقی عشق می ورزند

[d-a-r-y-a 133]

لیبنیز1

شاید درباره ارتباط علوم مطالبی شنیده باشید، اما آیا تاكنون در خصوص وجود ارتباط بین علوم و هنر اندیشیده‌اید؟ نمونه‌ای از این ارتباط، رابطه بین موسیقی و ریاضیات است.

هنگامی كه در این زمینه شروع به تحقیق كنید، احتمالاً با نام فیثاغورث، موتزارت و باخ بیشتر از دیگران مواجه خواهید شد. اما اولین كسی كه به این ارتباط پی برد، فیثاغورث، فیلسوف و ریاضیدان یونانی بود. نام این دانشمند بزرگ بی‌شك ما را به یاد رابطه معروفش در مثلث قائم‌الزاویه ((a2+b2=c2 می‌‌اندازد، اما او در زمینه موسیقی نیز فعالیتهایی داشته است. بسیاری از دانشمندان او را پدر علم و بعضی از موسیقی‌دانان پدر موسیقی می‌دانند. شاید تعریف او از موسیقی بعد از گذشت بیست و شش قرن، هنوز یكی از زیباترین تعاریف باشد:

«موسیقی، هارمونی‌ای از تضادها، جمعی از اضداد و آشتی عناصر متضاد است... موسیقی اساس یكپارچگی وجود در طبیعت و بهترین حكمران در عرصه گیتی است. موسیقی جهان هستی را ملبس به هارمونی و قانون‌گرایی می‌كند و روش خردمندانه‌ای برای زندگی ارائه می‌دهد. موسیقی یگانگی و وحدت را به ارمغان می‌‌آورد.»

روزی فیثاغورث جوان از كنار مغازه آهنگری می‌گذشت كه ناگهان صدایی با فواصل منظم كه از طرف سندان می‌آمد توجه او را جلب كرد. فیثاغورث متوجه شد كه وزن چكشی كه آهنگر از آن استفاده می‌كند، در صدا مؤثر است. ممكن است او نخستین كسی باشد كه تطابق آگوستیكی تارهایی با طولهای متناسب را توضیح داد.

 

هنگامی كه تارهایی با كشیدگی یكسان طولهای متناسب را (بدون توجه به جنس آن: روده، فولاد، ریسمان و غیره) به ارتعاش درمی‌آوریم، صداهایی با فركانس یكسان تولید می‌كند.

به‌‌عنوان مثال زهی با طول 60 سانی‌متر X مرتبه در هر ثانیه لرزش خواهد كرد، در حالی كه زهی با طول 30 سانتی‌متر، دوبرابر (X2). به‌علاوه این دو فركانس اكتاو كاملی را خلق می‌كند.

همچنین كوتاه كردن زه به یك سوم و یك چهارم به ترتیب لرزش را به یك پنجم و یك چهارم تغییر می‌دهد.

بنابراین نسبتهای زیر را درخصوص چگونگی فاصله بین ارتفاع صدا (زیر و بمی) خواهیم داشت.

هم‌صدا = 1:1

اكتاو (هنگام) = 1:2

پنجمین =2:3

چهارمین = 4: 3

 

اهمیت عدد 12

دستور زبان موسیقی را مغز با استفاده از ریاضیات دیكته می‌كند.

▄ هانتلی2

فیثاغورث گامهای دیگری نیز برداشت. او می‌دانست كه كوچك‌ترین عددی كه بیشترین خاصیت تقسیم شدن را دارد عدد 12 است. بنابراین تناسبها را با توجه به عدد 12 به صورت زیر بازنویسی كرد.

12:12

6:12

8:12

9:12

بنابراین او به این نتیجه رسید كه عدد 12 مناسبترین عدد در موسیقی است. پس از گذشت هزار سال، موسیقی‌دانان هنوز این عقیده را تصدیق می‌كنند.

اوایل قرن بیستم، آرنولد شونبرگ 3 روش جدیدی برای آهنگ‌سازی ارائه كرد. در این روش هیچ‌كدام از فاصله‌ها لحاظ نشده بود، در حالی كه به همه آنها توجه شده بود. او این روش را روش دوازده پرده‌ای نامید. در این روش همه فاصله‌ها یكسان در نظر گرفته می‌شوند و همه نتها اهمیت یكسانی دارند.

 

▄ تقارن و موسیقی

موسیقی با دمیدن حیات و احساس به اعداد، به ریاضیات زیبایی و ابعاد تازه‌ای می‌دهد.

كن4

تقارن یكی از مباحث هندسه (یكی از شاخه‌های ریاضیات) است، با این وجود می‌توان آن را در كار بسیاری از موسیقی‌دانان یافت. در بسیاری از موسیقیها، یك تم (ملودی كوتاه) با تغییرات كمی در قطعات بارها تكرار شده است. هنگامی كه تمی دوباره تكرار می‌شود، شاید از دفعه قبلی دیرتر شروع شود یا از آخر به اول نواخته شود. ممكن است تمی دوبرابر اندازه واقعی خود به‌آرامی نواخته شود تا با سرعت نصف اندازه واقعی نواخته شود.

آثار باخ شاید مشهورترین نمونه تقارن در موسیقی باشد. دقت و توجه زیاد به قوانین هارمونی، وضوح ریتم و عبارت‌نویسی در آثار باخ آنها را برای شنوندگان تبدیل به آثاری مملو از ریاضی اما با چاشنی احساس كرده است.

قطعات Musical Offering كه باخ در سال 1747 نوشته است، یكی از بارزترین این نمونه‌هاست.

 

▄ ریاضیات و نت‌نویسی

هر بار كه كمی بیشتر در مورد ساختار داخلی موسیقی كه ریاضیات و شكل آن است یاد می‌گیرم، از موسیقی لذت بیشتری می‌برم.

مالوی 5

در حقیقت در زندگی یك موسیقی‌دان ریاضیات نقش مهمی دارد، آماده‌سازی یك ملودی در یكی از آلات موسیقی و انگشت‌گذاری صحیح در ترتیب نتها درواقع نوعی مسئله ریاضی است. استفاده از آلات موسیقی مختلف برای نواختن ملودی مشابه نیز ریاضیات است. حتی استفاده از كلیدهای متفاوت در نواختن ملودی مشابه مرتبط با ریاضی است.

موسیقی‌دان خوب اغلب می‌تواند به آهنگی گوش دهد و بدون اینكه آن را قبلاً تمرین كرده باشد یا ترتیب نتها را بداند آن آهنگ را بنوازد، زیرا او ترتیب و شكلهای آشنا را تشخیص می‌دهد. این نوع تفكر بسیار شبیه به كسی است كه ریاضیات می‌خواند.

 

 

▄ سیستمهای شمارشی در موسیقی

دو سیستم شمارشی در موسیقی وجود دارد. یكی از آن در گام و دیگری كلید است. ابتدا به این سیستم در گام می‌پردازیم. هفت نت در گام وجود دارد. ترتیب فاصله‌ها یا فاصله بین این هفت نت است كه آن را بی‌‌همتا می‌‌كند. همان‌طور كه می‌دانید، فرمول چنین است: پرده، پرده یا نیم‌پرده، پرده، پرده، پرده، نیم‌پرده.

بنابراین اولین برخورد با موسیقی فهمیدن دوازده نت گام نیم‌پرده (كروماتیك) است. اگر در گام شش نت وجود داشت، می‌توانستیم آنها را به صورت فاصله مساوی یك پرده از یكدیگر در نظر بگیریم. اما هفت نت وجود دارد، بنابراین احتیاج به دو نیم‌پرده است. این هفت نت را كسی از زمانهای قدیم انتخاب نكرده است؛ آنها را موسیقی یا دقیق‌تر بگوییم، كسر انتخاب كرده است.

”آكوردها از تركیب نتهای مختلف گام ساخته می‌شود. ساده‌ترین آكورد، آكورد سه‌تایی (Triad) است كه در آن از سه نت گام استفاده می‌شود. می‌توان از نتهای دیگر گام برای بزرگ‌تر شدن آكورد استفاده كرد.

سیستم دیگر شمارشی در كلید است. هر یك از هفت نت گام می‌تواند به‌عنوان شروع‌كننده یك آكورد حساب شود. این آكوردها اغلب به صورت اعداد یونانی نوشته می‌شود.

I-II-III-IV-V-VI-VII

ممكن است آنها را به صورت زیر نیز دیده باشید:

I-ii-iii-IV-V-Vi-Vii

 

استفاده از این اعداد روش خوبی است زیرا می‌تواند ماژور یا مینور بودن آكورد را نشان دهد. درواقع مهم‌ است كه بدانیم كدام آكورد مرتبط به كدام كلید است.

آهنگ‌سازان اغلب آهنگها را با استفاده از اعداد می‌نویسند. اگر دامنه صدای خواننده را ندانند از كلید مناسبی در استودیو استفاده می‌كنند، در این هنگام است كه نوازنده اعداد را تبدیل به آكورد می‌كند. نشویل (Nashville) در این نوع نت‌نویسی مشهور است.

البته كسر میزان و ضرب (سرعت) هم با ریاضیات مرتبط هستند. درواقع روشی كه ما برای ساختن یك آواز به كار می‌گیریم، شاید برای كسی «یك – دو، یك یك – دو- سه- چهار» باشد.

هنگامی كه موسیقی را خوب مورد تجزیه و تحلیل قرار می‌دهیم، درمی‌یابیم كه موسیقی چیزی نیست جز حجم زیادی از اعداد. خوشبختانه هنگامی كه اعداد را به موسیقی تبدیل می‌كنیم، دلنشین و گوش‌نواز است وگرنه چه كسی به خود زحمت سردرآوردن از ترتیب، تعامل و ارتباط بین اعداد را می‌داد؟