مثلث

[MOJTABA 77 8,304]

مثلث ار اساسی ترین اشکال در هندسه میباشد.یک مثلث دارای سه راس است که سه ضلع این رئوس را به هم وصل میکند.در هندسه اقلیدسی این اضلاع خطوطی مستقیم هستند. ولی در هندسه کروی این اضلاع کمان هایی از دایره عظیمه میباشند.این دو نوع مثلث را میتوانید در شکلهای روبرو مشاهده نمایید.

 

 

انواع مثلث

 

 

مثلث متساوی الاضلاع: مثلثی است که دارای سه ضلع با طولهای مساوی است و زوایای داخلی این مثلث نیز با هم برابرند.

مثلث متساوی الساقین: مثلثی است که دارای دو ضلع با طولهای مساوی استو دو زاویه داخلی برابر دارد.

البته مثلث میتواند دارای سه ضلع با طولهای مختلف و زوایای غیر مساوی باشد.

 

مثلث قائم الزاویه: مثلثی را گویند که یکی از زوایای آن 90درجه باشد.نسبت های مثلثاتی مانند sin و cos ،بر روی مثلث قائم الزاویه تعریف میشوند.

مثلث منفرجه: مثلثی را گویند که یکی از زوایای داخلی آن بیشتر از 90 درجه باشد.

مثلث حاده : مثلثی را گویند که تمام زوایای داخلی آن کمتر از 90 درجه باشد.

300 سال قبل از میلاد اقلیدس ،اصول اولیه درباره مثلث را ارائه داد.به عنوان مثال یکی از اصول مهم در مورد مثلث این است که مجموع زوایای داخلی یک مثلث برابر 180 درجه است. بر اساس این اصل میتوان با معلوم بودن دو زاویه از مثلث اندازه زاویه سوم را بدست آورد.

یکی از مهمترین قضایای موجود در مثلثات قضیه فیثاغورث میباشد.در این قضیه رابطه بین وتر و اضلاع قائم یک مثلث قائم الزاویه بیان میشود.

 

 

محاسبه مساحت مثلث

برای محاسبه مساحت یک مثلث روشهای مختلفی وجود داردو در ادامه به توضیح این روشها میپردازیم

 

 

روش هندسی

برای محاسبه مساحت یک مثلث باید طول ارتفاع مثلث و نیز طول قاعده(ضلعی که ارتفاع بر آن عمود است) آن را داشته باشیم.آنگاه میتوانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

 

 

 

در این فرمول b طول قاعده و h طول ارتفاع مثلث میباشد. در شکل زیر نحوه بدست آمدن این فرمول بیان شده است:

 

 

 

تبدیل مثلث به یک متوازی الاضلاع که دو برابر مثلث مساحت دارد وسپس تبدیل متوازی الضلاع به یک مستطیل

 

برای پیدا کردن مساحت مثلث (قسمت سبز) ابتدا یک کپی از مثلث (قسمت آبی) را برداشته و آن را 180 درجه میچرخانیم و به مثلث اولیه متصل میکنیم تا یک متوازی الاضلاع بدست آید. با بریدن قسمتی از متوازی الاضلاع و متصل کردن آن به ضلع دیگر آن(همانند شکل) یک مستطیل ایجاد میشود. چون مساحت مستطیل برابر bh است .پس مساحت مثلث اولیه، نصف این مساحت خواهد بود.

[MOJTABA 77 8,304]

روش برداری

 

محاسبه مساحت متوازی الاضلاع با استفاده

از ضرب خارجی دو بردار

 

مساحت یک متوازی الاضلاع را میتوان با استفاده از بردارها محاسبه کرد.اگر AB,AC را مطابق شکل فرض کنیم آنگاه مساحت ABCD برابر |AB × AC| خواهد بود.این مفدار ،اندازه ضرب خارجی دو بردار AB و ACABC برابر با نصف اندازه ضرب خارجی دو بردار AB و AC خواهد شد. میباشد.پس مساحت مثلث

 

 

 

 

 

 

روش مثلثاتی

 

استفاده از مثلثات

برای پیدا کردن ارتفاع مثلث

 

 

ارتفاع یک مثلث را میتوان با استفاده از روابط مثلثاتی بدست آورد.به عنوان مثال در شکل روبرو ارتفاع مثلث از فرمول محاسبه میشود.اگر این فرمول را درفرمول جایگذاری کنیم فرمول بدست می آید:

 

 

 

 

روش مختصاتی

 

فرض میکنیم نقطه A به مختصات (0, 0)یک راس از مثلث باشد و نقاط B به مختصات(x1, y1) و C به مختصات(x2, y2) دو راس دیگر مثلث باشند.در این صورت مساحت مثلث نصف مقدار|x1y2 − x2y1| خواهد شد.