جهان رياضيات در فضاي نانو

[ramtinteymouri 203]

اين مقاله مي‌کوشد تا چالشهاي دنياي رياضيات را در مواجهه با دنياي شگفت‌انگيز نانو بررسي کند. به عبارت ديگر، رياضيات در معماري پازل نانو چه نقشي خواهد داشت؟

 

علوم نانو و فناوري نانو بيانگر رهگذري به سوي دنيايي جديد هستند. سفر به اعماق سرزمين اتمها و مولکولها نويد دهندة اثراث اجتماعي شگفت‌انگيزي است: در علوم بنيادين، در فناوريهاي نو، در طراحي مهندسي و توليدات، در پزشکي و سلامت و در آموزش.

 

پيش‌بيني‌هاي گسترده در حوزه کشفيات جديد، چالشها، درک مفاهيم، حتي هنوز فرم و محتواي موضوع، مه‌آلود و اسرارآميز است. اين مقاله مي‌کوشد تا چالشهاي دنياي رياضيات را در مواجهه با دنياي شگفت‌انگيز نانو بررسي کند. به عبارت ديگر، رياضيات در معماري پازل نانو چه نقشي خواهد داشت:

 

همگان بر اين نکته توافق دارند که پيشرفتهاي بزرگ، مستلزم تعامل ميان مهندسان، ژنتيست‌ها، شيميدانان، فيزيکدانان، داروسازان، رياضيدانان و علوم رايانه اي ها است. شکاف ميان علوم و فناوري، ميان آموزش و پژوهش، ميان دانشگاه و صنعت، ميان صنعت و بازار بر مجموعه تأثيرگذار خواهد بود. دلايل کافي مبتني بر فصل مشترک ميان نظامهاي کلاسيک و فرهنگ ها موجود است.

 

اين انقلاب علمي و فناورانه، منحصر به فرد است. اين بدين معني است که مي‌بايستي نه تنها در بعد علمي، که در ساير ابعاد، نيز زيرساختهاي بنيادين با حداکثر انعطاف پذيري در برابر تغييرات را پيش‌گويي و پيش‌بيني کنيم.

 

دانش رياضيات به عنوان خط مقدم جبهه علم مطرح است. ويژگي بديهي رياضيات در علوم نانو «محاسبات علمي» است. محاسبات علمي در فناوريي که به عنوان فناوري انقلابي مطرح شده است. محاسبات علمي در طول، تفسير آزمايشات، تهيه پيش‌بيني در مقياس اتمي و مولکولي بر پاية تئوري کوانتومي و تئوريهاي اتمي است.

 

همانگونه که رياضيات زبان علم است، محاسبات، ابزاري عمومي علم و کاتاليزوري براي تعاملات عميق‌تر ميان رياضيات و علوم است. يک تيم محاسبات، دربارة مدلشان و اثر محاسباتشان و تطبيق‌پذيري آن با واقعيت، به بحث مي‌پردازند. «‌محاسبات» رابطي ميان آزمايش و تئوري است. يک تئوري و يک مدل رياضي، پيش نياز محاسبات است و يک آزمايش تنها اعتبار بخش هر نوع تئوري، مدل و محاسبات است.

 

مدلهاي رياضي، ستونهاي راهگشا به سوي بنياد علم و تئوريهای پيش بين هستند. مدلها، رابطهايي بنيادين در پروسه‌هاي علمی هستند و اغلب اوقات در سيستم‌هاي آموزشي به فاز مدلسازي و محاسبات، تأکيد کافي نمي‌شود. يک مدل رياضي بر پاية فرمولاسيون معادلات و نامعادلات اصول بنيادين استوار است و مدل درگير با درک کامل پيچيدگيهاي مسأله نظير، جرم، اندازة حرکت و توازن انرژي است.

 

در هر سيستم فيزيکي واقعي تقريب اجازه داده مي‌شود، تا مدل را در يک قالب قابل حل عرضه کنند. اکنون مي‌توان مدل را يا به صورت «تحليلي» و يا بصورت «عددي» حل کرد. در اين حالت مدلسازي رياضي يک پروسه پيچيده است،زيرا مي‌بايستي دقت و کارآيي را همزمان نشان دهد.

 

در علوم نانو و فناوري نانو، مدلسازي نقش محوري را بر عهده دارد، بويژه وقتي که بخواهيم عملکرد ماکروسکوپي مواد را از طريق طراحي در مقياس اتمي و مولکولي کنترل کنيم، آن هم در شرايطي که درجات آزادي زياد باشد. مدلسازي رياضي يک ضرورت در اين فضاي مه آلود است. تفسير داده‌هاي آزمايشگاهي يک ضروت حتمي است. همچنين براي هدايت، تفسير، بهينه سازي، توجيه رفتارهاي آزمايشگاهي، مدلسازي رياضي ضرورت مي‌يابد.

 

يک مدل مؤثر، راه رسيدن به توليدات جديد، درک جديد رفتارشناسي، را کوتاه مي‌کند و تصحيح گر هوشمندي است که از نتايج گذشته درس مي‌گيرد.

 

مدلسازي نه تنها ويژگي منحصر به فرد رياضيات است بلکه پلي بسوي فرهنگهاي مختلف علمي است.

 

تئوري در هر مرحله از توسعة علم، نقش محوري دارد، ارزيابي حساسيت مدل به شرايط پروسه‌هاي فيزيکي ، و حصول اطمينان از اينکه معادلات و الگوريتمهاي محاسباتي با شرايط کنترل آزمايشگاهي سازگارند، از چالشهاي مهم است. تئوري نهايتاً بسوي تعريف نتايج و درک فيزيکي سيستم، ميل خواهد کرد و اغلب اوقات رياضيات جديدي لازم نيست تا به منظور رسيدن به درک رفتار، ساخته شود.

 

عبور از تئوريهاي موجود ارزشمند است و اغلب نيز اتفاق مي‌افتد. زماني مدلها، مشابه سيستم‌هاي شناخته شده هستند که دقت رياضي بالايي را داشته باشند اما در جهان شگفت ‌انگيز نانو، مدلهاي مختلف و جديد، چالشهاي جدي را در دانش رياضيات پديد مي‌آورند.

 

تئوريهاي جديد در مقياسهاي زماني غير قابل پيش‌گوئي اتفاق مي‌افتند و تئوريهاي قدرتمند در قالبهاي عميق شکل مي‌گيرند. ميان‌برهاي اساسي لازم است تا شبيه‌سازي صورت گيرد:

 

طراحي در مقياس اتمي و مولکولي، کنترل و بهينه سازي عملکرد مواد و ابزار آلات، و کارآيي شبيه‌سازي رفتار طبيعي، از مهمترين چالشها است. اين چالش‌ها نويد دهندة برهم کنشهاي کامل ميان حوزه‌هاي مختلف رياضي خواهد بود.

 

آثار اجتماعي اين چالش‌ها زياد و متنوع خواهد بود.

 

منافع حاصل از مشغوليت رياضيدانان فعال، توازن با چالشهاي اصلي در زمينه رشد زيرساختهاي رياضيات، تغييرات در ساختار آموزش رياضيات، از جمله آثار ورود رياضيات به دنياي شگفت انگيز نانو خواهد بود.

 

جامعه رياضي مي‌بايستي اصلاح شود: تئوريهاي بنيادين، رياضيات ميان رشته‌اي و رياضيات محاسباتي و آموزش رياضيات.

 

رياضيات چه حوزه‌هايي را در بر خواهد گرفت؟ الگوريتمهاي اصلي در حوزه‌هاي رياضيات کاربردي و محاسباتي، علوم کامپيوتر، فيزيک آماري، نقش مرکزي و ميان بر ساز را در حوزة نانو بر عهده خواهند داشت.

 

 

براي روشن شدن موضوع برخي از اثرات رياضيات را در فرهنگ نانو بررسي مي‌کنيم:

 

*روشهاي انتگرال گيري سريع و چند قطبي سريع: اساسي و الزامي به منظور طراحي کدهاي مدار (White, Aluru, Senturia) و انتگرال گيري به روش Ewala در کد نويسي در حوزه‌هاي شيمي کوانتوم و شيمي مولکولي (Darden 1999)

 

*روشهاي« تجزيه حوزه»، مورد استفاده در شبيه‌سازي گسترش فيلم تا رسيدن به وضوح نانوئي لايه‌هاي پيشرو مولکولي با مکانيک سيالات پيوسته در مقياسهاي ماکروسکوپيک (Hadjiconstantinou)

 

*تسريع روشهاي شبيه سازي ديناميک مولکولي (Voter 1997)

 

*روشهاي بهبود مش‌بندي تطبيق پذير: کليد روشهاي شبيه پيوسته که ترکيب کنندة مقياسهاي ماکروئي، مزوئي، اتمي ومدلهاي مکانيک کوانتوم از طريق يک ابزار محاسباتي است (Tadmor, Philips, Ortiz)

 

*روشهاي پيگردي فصل مشترک: نظير روش نشاندن مرحله‌اي Sethian, Osher که در کدهاي قلم زني و رسوب‌گيري جهت طراحي شبه رساناها مؤثرند (Adalsteinsson, Sethian) و نيز در کدگذاري به منظور رشد هم بافت ها (Caflisch)

 

*روشهاي حداقل کردن انرژي هم بسته با روشهاي بهينه سازي غير خطي (الماني کليدي براي کد کردن پروتيئن‌ها) (Pierce& Giles)

 

*روشهاي کنترل (مؤثر در مدلسازي رشد لايه نازک‌ها (Caflisch))

 

*روشهاي چند شبکه‌بندي که امروزه در محاسبات ساختار الکتروني و سيالات ماکرومولکولي چند مقياسي بکار گرفته شده است.

 

*روشهاي ساختار الکتروني پيشرفته ، به منظور هدايت پژوهشها به سمت ابر مولکولها (Lee & Head – Gordon)