زندگی نامه ریاضیدانان

[royan aria 2,423]

رياضيدانان برجسته قرن هفدهم:

1. نپر: چهار اختراع، بشر را در فن محاسبه چيره دست كرد: نماد گذاري هندي-عربي، چگونگي محاسبه مربوط به كسرها، لگاريتم و رايانه ها. «جان نپر» سومين اختراع را به نام خود ثبت كرد. او به طرز عجيبي، هم سياسي و هم مذهبي بود و نبوغ او در پيشگويي وسايل جنگي چهار قرن بعد از خود اعجاب آور است. تعريف لگاريتم به وسيله نپر، بيشتر فيزيكي است تا رياضي. بد نيست بدانيم كه پايه لگاريتم نپر بر خلاف تصور عموم، عدد e نيست بلكه معكوس e است كه البته خود او چيزي در اين زمينه نمي دانست. تذكر اين نكته لازم است كه در تكميل مفهوم لگاريتم و جداول مربوط به آن، «هنري بريگز» كه يكي از دوستان نپر بود، سهم بسزايي دارد و لگاريتم معمولي در پايه ۱۰ را معمولاْ «لگاريتم بريگزي» مي نامند. لگاريتم به معناي «عدد نسبت» است كه البته اين مفهوم، همان طور كه ذكر شد بر اساس تابع تواني -كه هم اكنون تدريس مي شود- به وجود نيامد و يكي از امور خلاف قاعده در تاريخ رياضيات، كشف لگاريتم، پيش از به كار بردن نماهاست. البته سه اختراع مهم ديگر نيز در تاريخ رياضي، به نام جان نپر به ثبت رسيده است. (مراجعه كنيد به صفحه ۴ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز.)

 

2. پاسكال: اين نابغه فرانسوي، يكي از بنيانگذاران هندسه محض و پيشرفته و نيز نظريه احتمال است. خواص اصلي اشكال معروف هندسي را در كودكي، بدون معلم و فقط با تلاشهاي خودش به دست آورد. در شانزده سالگي مقاله اي درباره مقاطع مخروطي نوشت و در هجده يا نوزده سالگي، اولين ماشين حساب مكانيكي را اختراع كرد. اما متاسفانه در طول ۳۹ سال زندگي، به دليل افراط و تفريطهاي مذهبي، جسم ضعيف خود را بارها و بارها آزرد و چندين بار از رياضيات دست كشيد و دوباره به آن بازگشت. پاسكال را به عنوان يكي از بزرگترين «چه ها كه مي شد!!» در تاريخ رياضيات شمرده اند. بعضي از كارهاي او عبارتند از:

 

- تاليف مقاله مهمي درباره خواص اصلي مثلث خيام-پاسكال كه در آن به طور جالبي از قديمي

ترين احكام قابل قبول استقراي رياضي استفاده شده است.

 

- كشف و اثبات قضيه مشهور «هگزاگرام رمزي» كه درباره يك ۶ ضلعي محاط در يك مقطع

مخروطي است.

 

- پي ريزي علم احتمال به همراه «فرما» (رياضيدان بزرگ فرانسوي). اين علم به وسيله مكاتباتي

بين پاسكال و فرما در تلاش براي حل «مساله امتيازها» در يك بازي شانسي به وجود آمد.

 

- اثري درباره منحني سيكلوئيد. اين منحني توسط نقطه اي واقع بر محيط يك دايره، هنگامي كه

دايره در امتداد خط مستقيمي بدون اصطكاك مي غلطد، رسم مي شود. اين منحني دهها

خواص جالب و بسيار زيبا دارد و اختلافات بسياري بين رياضيدانان ايجاد كرد به طوري كه به آن

«سيب نفاق» گفتند (اين نام بر اساس يك افسانه يوناني انتخاب شده است، براي مطالعه آن

به پاورقي صفحه ۲۷ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز مراجعه فرماييد). جالب است

كه از دوران اين منحني حول محور طولها، چيزي شبيه به سيب ايجاد مي شود.

 

3. دكارت: دكارت را معمولاْ مبدع هندسه تحليلي مي دانند كه از روشهاي جبري براي حل مسائل هندسي استفاده مي كرد. اين كار كمك بسياري در ساده سازي مفاهيم هندسي و حل مطالب غامض و پيچيده آن كرد. او همچنين به حل معادلات با درجات بالاتر از ۲ پرداخت و قاعده زيبايي را به نام «قاعده علامات دكارت» براي تعيين تعداد ريشه هاي مثبت و منفي يك چند جمله اي به دست آورد(مراجعه كنيد به صفحه ۷۰ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز). او براي اولين بار از روش ضرايب نامعين استفاده كرد كه همان متحد قرار دادن دو چند جمله اي هم درجه براي به دست آوردن ضرايب نامعين است. البته دكارت در جهان بيرون از رياضيات، فيلسوف بسيار مشهوري است و مطالب بسياري را به جهان فلسفه تقديم كرده است كه البته بعضي از آنها كاملاْ نادرست هستند. در ضمن داستانهاي جالبي درباره چگونگي كشف هندسه تحليلي به او نسبت مي دهند كه ارزش آموزشي زيادي دارد (مراجعه كنيد به صفحه ۵۰ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز).

 

4. فرما: معمولاْ فرما را بزرگترين رياضيدان قرن هفدهم فرانسه مي دانند. او حقوقدان بود و شغل رسميش وكالت بود، اما قسمت مهمي از ساعات فراغت خود را وقف رياضيات مي كرد. او در بسياري از شاخه هاي رياضيات كارهاي مهم و اساسي انجام داده است كه مهمترين اين كارها عبارتند از:

 

- تحقيقات اساسي پيرامون هندسه تحليلي. فرما را بايد در كنار دكارت يكي از موسسان

هندسه تحليلي ناميد. معمولاْ گفته مي شود كه كارهاي فرما عكس كارهاي دكارت بوده است.

دكارت از مكان هندسي شروع مي كرد و به معادله آن مي رسيد، اما فرما از معادله شروع و

سپس مكان هندسي آن را مطالعه مي كرده است.

 

- تاسيس نظريه نوين اعداد. فرما شهود و توانايي خارق العاده اي در نظريه اعداد داشت. قضاياي

بسياري را در اين زمينه با اثبات يا بدون اثبات بيان كرد كه بعدها درست بودن اغلب قضاياي ثابت

نشده او به ثبوت رسيد(مراجعه كنيد به صفحه ۵۲ و ۵۳ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د.

ايوز). حدس مشهور او به نام «حدس آخر فرما» در آخرين دهه قرن بيستم به اثبات رسيد!

 

- فرما به همراه پاسكال اساس علم احتمال را پي ريزي كرد.

 

- فرما در حساب ديفرانسيل نيز كارهاي اساسي كرد. او ظاهراْ اولين كسي بود كه از طريق

معادله f'(x)=0 نقاط ماكزيمم و مي نيمم يك تابع را به دست آورد(مراجعه كنيد به صفحه ۹۳

جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز). همچنين او يك روش كلي براي يافتن مماس بر

نقطه اي از يك منحني كه مختصات دكارتي آن معلوم باشد، ابداع كرد(مراجعه كنيد به صفحه ۹۳

جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز).

 

5. رياضيدانان معروف قرن ۱۷ كه قبل و يا همزمان با نيوتن مي زيستند و در شكل گيري و پيشرفت

حساب ديفرانسيل و انتگرال نقش بسزايي داشتند: (۱) سيمون استوين (۲) لوكا والريو (اين دو همان روشي را به كار بردند كه ما براي پيدا كردن حجم يك جسم در حساب انتگرال به كار مي بريم.) (۳) كاواليري (۴) فرما (۵) جان واليس (نماد معروف بي نهايت را نيز به او مديونيم.) (۶) آيزاك برو (كه احتمالاْ قضيه اساسي حسابان را اولين بار او ثابت كرد.)

 

6. نيوتن: صحبت كردن پيرامون نيوتن و كارهاي او ساده نيست. رياضيدان و فيزيكداني كه به گفته لاگرانژ بزرگترين نابغه اي است كه در جهان زيسته است. همچنين «لايبنيتز» رقيب سرسخت او در ستايشي بزرگ منشانه، نيمي از كارهاي انجام شده رياضي بشر تا عهد نيوتن را متعلق به نيوتن مي داند. انساني كه در ۲۳ سالگي به درجه اي رسيد كه مي توانست مماس و شعاع انحنا در يك نقطه از منحني را پيدا كند. روشي كه امروزه تحت عنوان حساب ديفرانسيل شناخته مي شود. در ۲۷ سالگي به استادي دانشگاه برگزيده شد و حدود ۶۵ سال در رياضيات و فيزيك كار كرد. پاپ دستاوردهاي نيوتن را بدين صورت بيان كرده است: «طبيعت و قوانين طبيعت در ظلمت نهفته بودند، ذات باري فرمود نيوتن به وجود آيد و همه چيز روشن شد.» البته نيوتن نيز خاضعانه در مقابل ستايشها مي گفت كه من همچون كودكي در حال بازي در كنار دريا هستم كه گاهي صدفهاي زيبايي توجهم را جلب مي كند اما اقيانوسي از حقايق كشف ناشده در مقابلم قرار دارد. يكبار هم گفت كه اگر افق ديد او گسترده تر از ديگران است بدين علت است كه بر دوش غولان ايستاده است و شايد منظور او از غولان، ارشميدس و امثال او باشند. كارهاي رياضي او به طور خلاصه به شرح زير است:

 

- تاليف كتاب« اصول رياضي فلسفه طبيعي» كه با اصرار «هالي» ستاره شناس معروف و با هزينه او در سال ۱۶۸۷ چاپ شد. اين كتاب به مطالعه دستگاه ديناميكي پديده هاي زميني و سماوي مي پردازد و يك صورت بندي رياضي از اين پديده هاست. اين كتاب پرنفوذ ترين اثر در تاريخ علم به حساب مي آيد و تاثير بسياري بر دنياي جديد داشت. تاريخ رياضيات ابتدايي اساساْ با آن پايان مي يابد.

 

- بسط روش بي نهايت كوچكها يا همان حساب ديفرانسيل و نيز روشهاي مربوط به سريهاي نامتناهي

 

- بسط روشهاي مربوط به ماكزيمم و مي نيمم توابع، مماس بر منحني ها، انحناي منحني ها، نقاط عطف، تحدب و تقعر منحني ها، محاسبه مساحتهاي زير منحني ها و طول قوس آنها

 

- ارائه روشي براي تقريب زدن مقادير ريشه هاي حقيقي يك معادله جبري يا غير جبري و نيز روشهاي زيبايي براي مطالعه منحني هاي درجه سوم

 

7. لايبنيتز: اين نابغه جامع رياضيات، فلسفه، الاهيات و حقوق، رقيب جدي نيوتن در ابداع حسابان بود. عقيده رايج امروز اين است كه نيوتن و لايبنيتز، حسابان را مستقل از يكديگر كشف كردند، اما لايبنيتز نتايج را زودتر انتشار داد، هر چند كه كشف نيوتن زودتر انجام شده است، اما متاسفانه مشاجره اسفباري بين اين دو بر سر تقدم در كشف حسابان در گرفت و هر كدام خود را موسس حساب ديفرانسيل و انتگرال مي دانست. هر دو نيز در اين مناقشه زيان ديدند، به ويژه نيوتن و رياضيدانان همعصر او در انگلستان. البته لازم است ذكر شود كه لايبنيتز را بزرگترين نابغه جامع قرن هفدهم مي نامند و ظاهراْ تنها شخص شناخته شده تاريخ رياضيات است كه هم در رياضيات پيوسته و هم در رياضيات گسسته داراي انديشه اي عالي بوده است. بد نيست بدانيم كه لايبنيتز در واقع يك سياستمدار و يك ديپلمات بود كه براي انجام كارهاي سياسي به كشورهاي ديگر سفر مي كرد. كارهاي او در رياضيات به طور خلاصه عبارتند از:

 

- ارائه قسمت مهمي از نمادهاي كنوني ما در حساب ديفرانسيل و انتگرال از قبيل نماد dx و dy/dx و علامت انتگرال كه از S كشيده Summa -يك كلمه لاتين به معناي مجموع- اقتباس شده است. هم اكنون از نمادهاي نيوتن آنچنان استفاده نمي شود.

 

- استخراج بسياري از قواعد مقدماتي مشتق گيري كه معمولاْ در ابتداي درس مشتق در سطوح مختلف دبيرستاني و دانشگاهي آموزش داده ميشود. قاعده يافتن مشتق n-ام حاصلضرب دو تابع را قاعده لايبنيتز مي ناميم (مراجعه كنيد به صفحه ۱۱۳ جلد دوم كتاب تاريخ رياضيات هاوارد د. ايوز).

 

- تلاش براي پايه گذاري نظريه پوشها و تعريف دايره بوسان براي اولين بار

 

- ارائه اولين ايده ها در منطق رياضي و نظريه مجموعه ها. او مجموعه تهي و احتواي مجموعه ها را نيز مطالعه كرده است و متوجه شباهتهاي نظريه مجموعه ها و منطق رياضي شده است (به طور مثال شباهت قوانين دمرگان در نظريه مجموعه ها و منطق).

 

- لايبنيتز احتمالا جزو اولين رياضيداناني است كه نظريه قدرتمند دترمينانها را براي حل دستگاه معادلات خطي پديد آورده اند.

[royan aria 2,423]

تأمّلی بر سرگذشت اواریست گالوا ، ریاضیدان بدشانس فرانسوی

 

نوآوری ها و دستاوردهای ریاضیاتیشان تشکیل می دهد که غیر ریاضیدان ها به سختی می توانند آن را درک کنند. بزرگترین استثناء در این قاعده ، اواریست گالوا است. آنچه از زندگی گالوا می دانیمبیشتر شبیه به یک داستان رمانتیک و بلکه تراژدی است. زیرا در تراژدی حتماً نبایدقهرمان داستان به طرز فجیعی کشته شود بلکه تراژدی را می توان به عنوان سرکوب نمودننبوغ یک نابغه و در نظرنگرفتن و توجّه نکردن به او نیز دانست.

اواریست گالوا را حتّی کسانی که دستی برریاضیات دارند هم ، نمی شناسند چه رسد به افراد عادّی که بیشتر ریاضیدانان بزرگ ومشهوری چون نیوتن و اویلر و ... ر می شناسند. اواریست گالوا را حتّی دانشجویان ریاضی هم به خوبی نمی شناسند.

در یکی از روزهای سال 1811 میلادی ، درنزدیکی پاریس ، پسری به دنیا آمد که او را "اواریست" نام نهادند. چون والدین پسر ،خود، افرادی تحصیل کرده بودند ، تا سنّ 12 سالگی نزد مادرش به تحصیل و فراگیری علم پرداخت. پس از آن به مدرسه رفت. در دروس عادّی مدرسه دانش آموزی متوسّط بود. امّا هنگامی که کتاب مبانی هندسه اثر «لژاندر» به دستش رسید و آن را مطالعه کرد به شدّت تحت تأثیر قرار گرفت. می گویند که او این کتاب را مانند یک کتاب داستان عادّی خوانده است و فقط با یک بار مطالعه آن ، بر مطالب کتاب احاطه کامل یافته است. ازهمین جا بود که با کارهای ریاضیدانان بزرگی چون لاگرانژ و آبل آشنا شد و آنها را مطالعه کرد. هنگامی که 15 ساله شد، خودش به تنهایی یک خواننده حرفه ای آثار ریاضی بود و کشف کردن در دنیای ریاضی را آغاز کرد و به کشفیّات مهمی نیز دست یافت. در آن سنّ و سال کم و بدون بهره بردن از هیچ تحصیلات عالی رسمی ، گالوا قادر بود به کشفیّاتی برسد که او را به شهرتی جاودانه در دنیای ریاضیات برساند. شهرتی که هیچگاه طعم آنرا در زمان حیاتش نچشید.

"دوپوی" در جمله ای راجع به شرح حال گالوا می گوید:

« کتاب های جبر مقدّماتی هرگز گالوا را قانع نکرد زیرا در آنها جای پایی از مکتشفین نمی یافت. درست از اوّلین سال ریاضی به لاگرانژ روی آورد. »

دست نوشته هایش از نظم و ترتیب خوبی برخوردار نبود و به دلیل ذهن نیرومندی که داشت بیشتر محاسبات ریاضی را به صورت ذهنی انجام می داد و فقط نتایجش را یادداشت می کرد. مقالات و مطالبی که می نوشت مانند اکثر مقالات ریاضیدانان قرن هجدهم ، خلاصه و بی ترتیب بودند. سبک نوشتنی که در ریاضی نویسی امروزی ، کاملاً نامأنوس و نامرسوم است.

مدرسه پلی تکنیک پاریس ، مدرسه ای بود که ریاضیدانان بزرگی در آنجا تربیت شده بودند و دو بار تلاش گالوا برای ورود به این مدرسه، ناکام ماند. گالوا خود به خوبی می دانست که از بسیاری از کسانی که پذیرفته شده بودند ، شایستگی بهتری دارد. امّا او ناامید نشد و خود به مطالعه ریاضی پرداخت. به عقیده بسیاری از ریاضیدانان بزرگ ، پذیرفته نشدن گالوا در مدرسه پلی تکنیک پاریس، خُسران زیادی برای علم ریاضیات به همراه داشته است.

کشفیّات اساسی او در معادلات چند جمله ای بود که در سال 1829 برای اوّلین بار ، طی مقاله ای ، آنها را به آکادمی علوم پاریس فرستاد. کسی که مقالات ارسالی به آکادمی را از نظر علمی ، قضاوت و داوری می کرد ، "آگوستن لویی کُشی" بود. کُشی ریاضیدان بزرگ و ماهری بود و این توانایی را داشت که بتواند با مطالعه مقاله گالوا ، آن را بفهمد و به ارزش کشفیّات او پی ببرد. امّا دراین بین ، کُشی ، مقاله گالوا را گم کرد و دیگر نتوانست آن را پیدا کند. شاید اینگم شدن مقاله را بتوان به حساب بدشانسی خود گالوا گذاشت!!

بعد از این ماجرا ، گالوای شجاع ، کارهایش را در مسابقه سال 1830 جایزه بزرگ آکادمی در ریاضیات شرکت داد. مقاله گالوا بدون شک باید برنده این جایزه می شد. امّا این بار هم بخت با گالوا یار نبود زیرا "فوریه" که منشی آکادمی بود ، مقاله گالوا را با خود به خانه برد و به طور ناگهانی پیش ازخواندن آن فوت کرد و مقاله گالوا دوباره گم شد!!

گالوا نسخه دوّم مقاله اش را به آکادمی فرستاد. این بار قضاوت درباره مقاله ، بر عهده "پواسون" بود. هنگامی که پواسون مقاله گالوا را مطالعه کرد ، در حاشیه یکی از برهان های گالوا ، یادداشتی به این مضمون نوشت:

« برهان این هم ناکافی است امّا بنابر بخش 100 از مقاله آقای لاگرانژ ، برلین ، 1771 ، درست است. »

چه اتّفاقی افتاده بود ؟ مگر می شود برهان یک قضیه ، ناکافی امّا درست باشد ؟

گالوا در یادداشتی دست نویس به پواسون پاسخ داد : « اثبات خواهد شد. »

شاید منظور گالوا ، چیزی شبیه به "آن بماندتا ببینیم" بوده است. با این حال منظور گالوا این بوده است که " لطفاً به بررسی بقیه قسمت های مقاله بپردازید تا من برهان را در آینده کامل کنم. "

امّا پواسون در گزارش خود به آکادمی ازمقاله گالوا به عنوان یک کلّیت یاد کرده و می نویسد:

« ما تمام کوشش خود را برای درک برهان آقای گالوا به کار بردیم ، امّا استدلال های ایشان به اندازه کافی روشن نیست و به اندازه کافی پرورانده نشده اند تا ما بتوانیم درباره درستی آنها قضاوت کنیم ... »

پواسون امیدوار بود که گالوا به اصلاح وتوسعه کار عرضه شده خویش بپردازد تا بتواند برهان کاملتری را به آکادمی ارائه دهد. امّا گالوا می دانست که برهان هایش درست هستند و به علاوه ، دانش و درک او از جبر ،بسیار فراتر از دانش کسانی است که مقاله او را داوری میکنند.

واقعیّت نیز همین بود که داوران آکادمی ،دانش و توانایی فهمیدن استدلال های گالوا را نداشتند. از طرف دیگر ، سنّ کم گالوا که در آن زمان فقط 19 سال داشت و مواجه شدن داوران با دست نوشته ای نا مفهوم وهمچنین اعتقادات ضدّ دولتی گالوا ، همه و همه دست به دست هم داده بودند تا مقاله گالوا مورد تأیید آکادمی علوم پاریس قرار نگیرد. به طوری که پواسون در انتهای گزارش خود به آکادمی می نویسد:

« به صورتی که در حال حاضر مقاله به آکادمی ارائه شده ، نمی توانیم تصویب آن را به شما توصیه کنیم. »

و این یعنی مقاله گالوا رد شده است.

پس از رد شدن مقاله توسط پواسون، گالوا به شدّت ناراحت و تلخ کام شد و بعد از آن برای پروراندن مقاله خود و قابل فهم تر ساختن آن چنان که پواسون می خواست ، ابداً هیچ کوششی نکرد.

به خاطر این وقایع یا به خاطر آنکه پدرش طرفدار جمهوری بود ، گالوا به انتقاد شدید از رژیم بوربون ها دست زد و به گارد ملّی فرانسه یعنی سازمان جمهوری خواهان پیوست. در این زمان ، فرانسه ، سخت گرفتار آشوب های سیاسی بود. گالوا به خاطر فعالیّت های سیاسی اش محاکمه شد و به عنوان زندانی سیاسی ، چند ماهی را در زندان گذراند.

پس از آزادی از زندان در سال 1832 ، گرفتارعشق دختری عشوه گر شد. امّا گالوای بدشانس در بازی عشق نیز شانس نیاورد و بر سردستیابی به این دختر ناگزیر به انجام یک دوئل مرگبار شد.

شب قبل از آن دوئل مرگ آفرین ، نامه ای به دوستش "ژوزف لیویل " می نویسد و در آن ، ناگفته ها و یافته های ریاضی اش را به اختصار شرح می دهد و از او می خواهد تا توجّه جهان ریاضی را به اهمیّت کارهایش جلبکند. او حتّی در این نامه از ژاکوبی یا گاوس درخواست می کند که نظرشان را نه درمورد اهمیّت این قضایا ، بلکه در مورد اهمیّت آنها ، بیان کنند.

جمله معروف " من وقت ندارم " را گالوا در یک یادداشت حاشیه ای ، احتمالاً در شب قبل از دوئل ، در ارتباط با برهان گزاره دوّم خود که گفته است نیاز به تکمیل شدن دارد ، نوشته است. چون دیگر وقت کافی برای تکمیل آن برهان نداشت. گرچه در ابتدا ، اثباتش غلط به نظر می رسد.

او درباره دوئلی که فردای آن شب جان او راگرفت نیز می نویسد:

« من قربانی یک زن عشوه گر گمنام شده ام... این یک نزاع اسف بار است که جان مرا می ستاند ... آه! چرا باید برای یک چیز بی ارزش بمیرم ... »

سرانجام ، دوئل در 25 قدمی صورت گرفت. تیربه شکم گالوای بدشانس خورد و به زمین افتاد. ساعت ها در آنجا ماند تا آنکه دهقانی که از آنجا عبور می کرد ، او را به بیمارستان برد.گالوا روز بعد ، یعنی 31 مه 1832در سنّ 20 سالگی فوت کرد و در بخش عمومی قبرستان مونت پارناس به خاک سپرده شد.

14 سال پس از مرگ گالوا یعنی در سال 1846 ،طرفداران اندکش موفق شدند مخاطبینی برای کارهایش پیدا کنند و به عمق کشفیات او تاحدودی دست یابند. قسمتی از نوشته هایش توسط ژوزف لیویل در مجله ریاضیات به چاپ رسید.

لیویل در اطلاعیه پیش از چاپ کارهای گالوا ،وقتی که فهمیده بود روش هاس گالوا درست بوده اند و می توان قضیه هایش را با دقّت زیاد اثبات کرد ، از آن به عنوان "یک لذّت جاوید در زندگی اش" یاد می کنند. پس ازآن ، شناسایی و درک اهمیّت فراوان کارهایش به سرعت آغاز و احترام به گالوا بیشتر شد. شهرت گالوا 14 سال پس از مرگش آغاز شد. به طوری که در حال حاضر یکی از بزرگترین ریاضیدانان خلاّق تمام عصرها به شمار می آید.

او زنده نماند تا به گسترش عمیق تر کاربردها و توسعه ی نظریه خود که بعدها "نظریه گالوا" نام گرفت ، بپردازد. نظریه گالوا امروزه یکی از مباحث مهم و پرکاربرد جبر مجرد و نظریه گروه ها است. حتّی امروز ،ریاضیات در اثر حادثه غم انگیزی که برای او روی داده است ، احتمالاً بضاعت کمتر دارد.

 

[royan aria 2,423]

ریاضیدان رمانتیک

 

کارل منهایم در بزرگترین اثر خود، ایدئولوژی و اتوپیا،نخستین صورت بندی منظم از جامعه شناسی معرفت را مطرح می کند.وی معتقد است هر پژوهنده ای جهان را مطابق مقام و پایگاه اجتماعی خود می بیند و «اندیشه بر طبق انتظارات گروه اجتماعی معینی جهت می گیرد» اما از نظر او معرفت علمی و ریاضیات حسابی جداگانه دارند.منهایم معتقد است: «این که دو ضربدر دو برابر است با چهار، به هیچ روی معلوم نمی کند که کی، کجا و توسط چه کسی این قاعده برقرار گردیده، در صورتیکه در مورد یک اثر تحقیقی در علوم اجتماعی ...می توانیم از «نفوذ پایگاه اجتماعی» پژوهنده در نتایج تحقیقی اش سخن بگوییم» در واقع منهایم معتقد است که علوم دقیقه همچون ریاضیات و علوم طبیعی، علومی مستقل از امیال و انگیزه های دانشمندان هستند،از این رو نمی توان این علوم را به شرایط زندگانی، بویژه جایگاه و مقام دانشمندی کهبه بسط و توسعه آنها مشغول است، مرتبط نمود.به بیانی دیگر، عوامل اجتماعی نمیتوانند در نتایج این گونه اندیشه ها تأثیر گذار باشند و نشانه هایی که نمایانگر اصلو منشأ انسانی آنهاست، در این علوم هویدا نیست.اما بررسی های جامعه شناختی - تاریخینشان می دهند که ریاضیدانان و معرفت ریاضی که می سازند، همچون حوزه های معرفتی دیگر، متأثر از شرایط اجتماعی هستند که پدید آورندگان آنها در آن زندگی می کنند.در این مقاله خواهیم دید که شرایط اجتماعی رمانتیسم در قرن نوزدهم از عوامل مهمی بودکه سبب پیدایش ریاضیات شهودگرایی شد.

۱) اعتراف نامه ایمان

لوئیتزن اخبرتوسیان براور در ۲۷ فوریه ۱۸۸۱ در حالی که تنها دو دهه به پایان قرن نوزدهم - عصراحساس- باقی بود در هلند به دنیا آمد.وی در ۱۸۹۰ در سن ۹ سالگی وارد دبیرستان شد کهاین امر تا آن زمان سابقه نداشت.دوران دبیرستان براور بدون هیچ مشکلی سپری شد و درتمام مدت تحصیل شاگرد اول بود.در سال ۱۸۹۵ موفق به دریافت مدرک دبیرستان شد.درپائیز ۱۸۹۷ براور در سن ۱۶ سالگی در رشته ریاضیات در دانشگاه شهری آمستردام ثبت نامکرد.او درس هایش را با شور و شوق فراوانی آغاز کرد.بزودی نبوغ ریاضی وی به وسیله استادان و دانشجویان سال های بالاتر شناخته شد.او از این که به عنوان دانشجوی سالاولی برای عضویت در جامعه «گروه دانشجویان» دعوت شده بود، احساس لذت می کرد اماگروه های شلوغ دانشجویان با آن هیاهوی دوران جوانی چندان مورد پسند براور نبود ورضایت خاطر وی را فراهم نمی کرد.او اساساً فردی اجتماعی نبود.تکبر و کمرویی وی را از ریاضیدانان جوان بزرگتر از خودش دور نگه می داشت.او بیشتر علاقه مند بود که اوقاتش را در خانه و در جمع دوستان شاعرش بگذراند، کسانی همچون کارل آدما واناسخلتما، جان لاک هرست و آلبرت پلاشرت.این شاعران جوان متعلق به جنبش رمانتیسم قرننوزدهم بودند و روابط نزدیک براور با آنها سبب شد که وی تحت تأثیر افکار و اندیشه های عصر احساس قرار گیرد که نمودهای آن را می توان در بدبینی و انزواطلبی وی بخوبیدید.

براور در سن ۱۷ سالگی در کلیسای هارلم اعتراف نامه ای را ایراد کرد.وی در «اعتراف نامه ایمان» خود همچون پیتیست ها بر نقش اساسی مکاشفه و راز و نیاز فردیبرای درک خداوند تکیه کرد تا بر استدلال های خشک فلسفی و کلامی.براور در بخشی ازاین اعترافات از مبانی بنیادین ایمانش به خدا می پرسد.او معتقد است که ایمان وی به خدا به خاطر استدلال های عقلانی مبتنی بر پدیده های اطراف وی نیست، بلکه برعکس ویدر اعتقاد به خدا از فکر و اندیشه اش به هیچ عنوان کمک نمی گیرد.براور همچون رمانتیست های هم عصرش از عقل می گریزد و سعی دارد که تمام اعتقادات خود را بر پایه احساس و شهود بنا نماید.از نظر او تنها حقیقت، «احساس» خودش است و هیچ واقعیت دیگریمستقل از خودش برای او وجود ندارد.

براور در سال ۱۹۰۴ ازدواج کرد و در طول سالهای اولیه زندگی مشترکش بیش از پیش در خود فرو می رفت.او در جست وجو ی تنهایی ازآپارتمانی به آپارتمان دیگری در آمستردام نقل مکان می کرد.تنها دوستان نزدیک ویهمان سه شاعر رمانتیک بودند.براور گرچه در بیان هنرمندانه احساساتش ناتوان بود، اما احساس قرابت بسیاری با خلق و خوی رمانتیک دوستانش می کرد.بویژه خصلت هایی همچونبدبینی و یأس از جامعه معاصر و طغیان علیه همه اشکال استقرار یافته آن.

وی درتلاش برای بازیافتن خویش، در سال ۱۸۹۹ در حالی که خرقه مشکی گشادی به تن داشت،پیاده سفری به ایتالیا کرد و به زیارت فلورانس و رم رفت.این سفرها نگرشی جهان وطنیبه اودادند و سبب فرو رفتن وی در خود و تفکر درباره موضوعاتی همچون: خود، زندگی،ارتباطات بشری، حقیقت و علم شد.این تفکر و تعمق که حاصل روحیه رمانتیک وی بود،افسردگی شدیدی را برای براور در پی داشت و سبب غیبت وی در کلاس های دانشگاه شد.امافشار خانواده و نیاز به امنیت شغلی و ضعف جسمانی او برای انجام شغل دیگری، مانع ترکفوری تحصیل اش شد، اما این که کل زندگی اش را به ریاضیات اختصاص دهد برایش بیشتر وبیشتر تحمل ناپذیرتر می شد.او خودش را منزوی کرد و در انزوای خود از بیماری عصبی ومزاجی اش رنج می برد و سعی در تحمل حملات عصبی اش داشت.

۲) جهان غمگین

ملاقات براور با ریاضیدان خودساخته ای به نام خریت مانوری تأثیر عمیقی بر وی گذاشت و سبببازگشت وی به تحصیل و توجه به مسائلی در بنیادهای ریاضیات شد.به طوری که در فوریهسال ۱۹۰۴ مقاله ای درباره توپولوژی در مجله انجمن سلطنتی هلند منتشر کرد.وی در ژوئنهمان سال امتحانات نهایی دانشگاه را گذراند.وی پایان نامه اش را با دیدریک یوهانسکورتوخ، ریاضیدان کاربردی برجسته، گذراند و در فصل هایی از آن به مباحث بنیادین ریاضیات پرداخت.این سال ها همزمان با گسترش فلسفه در میان عامه مردم در هلندبود.بولند فیلسوف خودساخته ای بود که در این زمینه فعالیت بسیاری داشت.حملاتشدیداللحن وی به ماتریالیسم و لذت گرایی توجه براور را به خود جلب کرد به طوری کهوی کتاب «عقل محض- کتابی برای دوستداران حکمت» او را خواند.اما ستایش وی از تفکر واستدلال منطقی بشر، انزجار براور را برانگیخت.

براور در پاسخ به عقل گرایی بولندیک سلسله سخنرانی در سال ۱۹۰۵ تحت عنوان «فلسفه اخلاق» ایراد کرد که بعدها با عنوان «زندگی، هنر و عرفان» منتشر شد.

«زندگی، هنر و عرفان» بیانیه جوانی خشمگین است که هر آنچه را که در سطح روئین جامعه بشری می بیند، انکار می کند و با شور و حرارتو در سبک نهضت ادبی رمانتیسم هلندی و در سال های پایانی قرن نوزدهم به آنها حمله میکند.وی سرچشمه شر و بدی را انسان می داند و معتقد است که انسان جهان را آلوده کردهاست.نخستین بخش مقاله وی یعنی «جهان غمگین» نمایانگر نگرش طبیعت گرایانه و یاست.براور معتقد است که هلند سرزمینی است که بر روی آبرفت رودخانه های بزرگ قراردارد.قبل از دخالت بشر میان تپه های شنی و دلتاهای آن از یک سو جزر و مد دریا وحوزه های آبگیر رودخانه ها از سوی دیگر توازن طبیعی برقرار بود.حتی طغیان رودخانهها هم بخشی از این توازن بود.این سرزمین می توانست محل زندگی انبوهی از نژاد بشرباشد.اما انسان به این مقدار راضی نبود و برای کنترل رودخانه ها، سدها را ساخت و برای آباد کردن زمین ها مسیر رودخانه ها را تغییر داد و برای سهولت حمل و نقل رویدریاها و رودخانه ها، درختان را برید.بدین گونه توازن طبیعت به هم خورد.براور همچون رمانتیک ها در آرزوی گذشته از دست رفته و بازگشت به زندگی بدوی چنین می گوید: «اساساً انسان در تنهایی می زیست و به وسیله طبیعت حمایت می شد.هر فردی می کوشید کهتوازن خود را میان وسوسه های گناه آمیز حفظ نماید.نه درگیری با دیگران وجود داشت ونه نگرانی درباره آینده از این رو نه کار سخت، نه اندوه، نه تنفر، نه ترس و نهشهوتی وجود داشت.اما بشر گنجایش این موهبت ها را نداشت.او شروع به اعمال کنترل روی همنوعانش کرد و در جست وجو ی قطعیتی در آینده برآمد.بدین گونه توازن طبیعت از بینرفت.

اما براور تنها به مرثیه سرایی درباره دنیای از دست رفته نمی پردازد، بلکه سعی می کند که برای خود راه گریزی از این درد و اندوه بیابد.وی معتقد است برای تعمق و تفکر درباره این جهان حزن آلود انسان باید به درون خود بنگرد.وی در بخش دوم مقاله یعنی «بازگشت به خود» به بررسی چنین سفر درونی می پردازد.او معتقد است که محتویآگاهی درون انسان به طور مداوم در حال تغییر است.آیا انسان بر این تغییرات اشرافدارد براور بر آن است که هر کسی که درباره پاسخ به این پرسش فکر کند، احتمالاً جوابمنفی می دهد، زیرا انسان خود را در جهانی می یابد که خودش آن را نیافریده است.اما آیا انسان قادر است که بر آگاهی خویش تسلط یابد براور معتقد است که این امر امکان پذیر است زیرا تجربه های دینی شاهدی بر این ادعا هستند هنگامی که انسان از شهوات،ترس، آزمندی، فضا، زمان و به طور کلی از تمام دنیای ادراک پذیر دوری جوید، آنگاه احساسات مذهبی را در درون خود می یابد و این نشانگر آن است که انسان قادر است که برخود کنترل داشته باشد.حال این پرسش مهم مطرح می گردد که «این خود چیست، شما نه میتوانید درباره آن چیزی بگویید و نه قادرید درباره اش استدلال کنید.زیرا بخوبی میدانید که هر صحبت و استدلالی درباره خود، توجهی به خود، از فاصله ای دور از آناست.در واقع شما نمی توانید با کلمات، معانی یا استدلالات به خود، نزدیک شوید.اینامر تنها به وسیله بازگشت به خود، آن گونه که در نزد شما یافت می شود، امکان پذیراست.»

براور معتقد است هنگامی که انسان به خود بازگردد به چیزی بس مهم دست خواهد یافت و آن احساس وجود خدا است.

ریشه های این رویکرد عرفانی براور به خود و خدارا می توان در نقل قول های وی از عرفای قرون وسطی همچون مایستراکهارت و جاکوب بوهمدید.

همان طور که می بینیم براور زائیده عصر رمانتیسم بود.طغیان در برابر عصرروشنگری و جست وجو ی خویش در احساسات و شهودات فردی، یأس، حزن و بدبینی نسبت به جهانی که در آن می زیست و گرایش به عرفان های شرقی برای از بین بردن این رنج واندوه، همه و همه حکایتگر ویژگی های عصری بود که تلاش می کرد تا انسان را به ارزش های از دست رفته اش پس از نهضت روشنگری و ظهور سرمایه داری بازگرداند.هر فردی که دراین عصر زندگی می کرد به لحاظ خصلت های روحی- فردی خویش، برخی یا تمام این ویژگی هارا به ارث می برد و بازتاب آن در کارش مشاهده می شد.شاعری که در این فضا شعر می گفت، شعرش سبک رمانتیک داشت.فیلسوفی که در این عصر می اندیشید -همچون هامان و هردر- فلسفه اش به جای عقل بر شور باطنی تأکید داشت.معماری که در این زمانه به معماری میپرداخت، معماری گوتیک را بر معماری کلاسیک ترجیح می داد.نقاشی که در این عصر نقاشی می کرد، نقاشی از طبیعت و مناظر را بیش از انواع دیگر نقاشی ها می پسندید.پس آیاامکان نداشت ریاضیدانی مثل براور که در این عصر به تفکر انتزاعی ریاضی می پرداخت،نتیجه تأملاتش یا به عبارت دیگر محصولات ریاضی اش از حال و هوای این عصر نشأت گرفته باشد.

کارل منهایم در بزرگترین اثر خود، ایدئولوژی و اتوپیا، نخستین صورت بندی منظم از جامعه شناسی معرفت را مطرح می کند.وی معتقد است هر پژوهنده ای جهان رامطابق مقام و پایگاه اجتماعی خود می بیند و «اندیشه بر طبق انتظارات گروه اجتماعی معینی جهت می گیرد» اما از نظر او معرفت علمی و ریاضیات حسابی جداگانه دارند.منهایممعتقد است: «این که دو ضرب در دو برابر است با چهار، به هیچ روی معلوم نمی کند کهکی، کجا و توسط چه کسی این قاعده برقرار گردیده» در واقع منهایم معتقد است که علومدقیقه همچون ریاضیات و علوم طبیعی، علومی مستقل از امیال و انگیزه های دانشمندان هستند، اما بررسی های جامعه شناختی - تاریخی نشان می دهند که ریاضیدانان و معرفت ریاضی که می سازند، همچون حوزه های معرفتی دیگر، متأثر از شرایط اجتماعی هستند.دراین مقاله خواهیم دید که شرایط اجتماعی رمانتیسم در قرن نوزدهم از عوامل مهمی بودکه سبب پیدایش ریاضیات شهودگرایی شد. بخش اول این مقاله را روز شنبه خوانده ایدآنچه پیش روی شماست بخش پایانی این بررسی است.

۳) شهود پایه

 

عقل گریزی عصررمانتیک سبب شده بود که براور با دوری جستن از استدلال های عقلی، تلاش کند تا باغور کردن در درون احساساتش به دنبال احساسات بنیادینی بگردد که بتواند اعتقاداتزندگی خویش را برآن بنا کند.پس از بازشناختن خود و خدای خویش، بزرگترین دلمشغولیبراور تفکر و اندیشیدن درباره ریاضیات بود.ریاضیات چیست و تفکر ریاضی بر چه مبناییقرار دارد پرسش هایی هستند که وی با آنها روبه رو بود.وی آنقدر ریاضی می دانست کهبا نظرات ریاضیدانان معاصرش آشنا باشد.آیا ریاضیات همانگونه که راسل و وایتهد میگفتند، چیزی جز منطق نیست یا آنگونه که هیلبرت می گفت مجموعه ای از علائم ونمادهاییاست که با اصول و قواعدی که تعریف می شوند، مدل های ریاضی را به وجود میآورند او که ریشه عمیق ترین اعتقاداتش به خود را در درونی ترین احساساتش یافته بود،پس چرا در این مورد نیز به سراغ احساساتش نرود و مبانی ریاضی را در درونی تریناحساساتش نجوید

براور هنگامی که به درون نگری می پردازد و سعی در خود آگاهی دارد، حالت هایی در آگاهی خویش احساس می کند که در آن حالت ها احساسات همچون سیالیمی آیند و می روند.وی می گوید: به نظر می رسد که «آگاهی در عمیق ترین مأوایش نوسانیآهسته، غیرارادی و برگشت پذیر میان سکون و احساس است.» ذهن همواره در حال گذر از یکاحساس کنونی به احساس کنونی دیگر است.در آخرین حالت، صورت حسی پیشین به عنوان احساسگذشته برای ذهن باقی می ماند، ذهن می تواند از این دو احساس یعنی احساس پیشین واحساس کنونی فراتر رود و این دو احساس را به عنوان ترکیبی واحد ببیند.براور ازترکیب دو صورت حسی گذشته و حال به عنوان ترکیبی واحد با عنوان تجربه «دوگانگی» نام می برد.این تجربه به واسطه ذهن می تواند از این دو احساس یعنی احساس پیشین و احساس کنونی فراتر رود و این دو احساس را به عنوان ترکیبی واحد ببیند.براور از ترکیب دوصورت حسی گذشته و حال به عنوان ترکیبی واحد با عنوان تجربه دوگانگی نام می برد.اینتجربه به واسطه «گذر زمان» به وجود می آید.به عبارت دیگر دوگانگی با گذر زمان متولدمی شود.ذهن با انتزاع از تعداد زیادی از تجربه های دوگانگی به نخستین دو عدد طبیعییعنی ۱ و ۲ می رسد.

● براور این فرایند را چنین توصیف می کند

«ریاضیات وقتیبه وجود می آید که دوگانگی هایی که با گذر زمان خلق می شوند، توسط ذهن از هرمحتوایی عاری شوند.در آن هنگام این شکل خالی از هر محتوایی که اساس مشترک همهدوگانگی ها است، به عنوان شهود پایه ریاضیات باقی می ماند که بدون هیچ محدودیتیآشکار شده است» (براور ۱۹۴۸ ص ۴۸۲).

در واقع براور معتقد است که انسان اعدادطبیعی را در ذهن خود می سازد.به عبارت دیگر نه خود عمل ساختن و نه مفاهیم ساختهشده، نمی توانند کاملاً از ذهن سازنده آنها جدا باشند.یک مفهوم ریاضی از عملی که آنرا به وجود می آورد و به دست می دهد، قابل تفکیک نیست.ذهن تنها یک سازنده یا مادریکه وجود مستقلی را می زاید، نیست.اشیای ریاضی تنها به عنوان یک فکر یعنی بخشی ازآگاهی حیات دارند.علاوه بر این «ذهن خالق» تماماً درگیر عمل ساختن است.وقتی براوراز عمل «آگاهانه» به واسطه «اراده» صحبت می کند در واقع عنصر آزادی را که عنصرحیاتی هر ساختنی است در حوزه ریاضیات وارد می کند.بویژه بخش هایی از ریاضیات که بهعنوان عملگرها، رابطه ها و توابع توصیف می شوند.

بنابراین وجود یک شیء ریاضی،حضور آن به عنوان یک فکر در آگاهی است.به عبارت دیگر «خلق شدن یا بودن یا ساخته شدنبا عناصری از شهود در شهود پایه است.» در این شهود پایه مفاهیم دوگانگی، در عینحالی که از هم جدا هستند با هم نیز یکی هستند، به گونه ای که تنها در یک عمل شهودیقابل خلق شدن هستند.«یک شهود پایه پیشینی و منفرد که می تواند به عنوان ثبات درتغییر یا وحدت در کثرت توصیف شود...نخستین عمل ساختی ای است که دو چیز جدا از هم رابا هم می پندارد.»

پس از نخستین عمل ساختی که منجر به ساخته شدن اعداد ۱ و ۲ میشود، ما می توانیم با تکرار این فرایند اعداد طبیعی بعدی را برای ذهن مشخص کنیم.بااین روش هیچ چیزی به عنوان تمامیت کاملی از اعداد طبیعی وجود ندارد.به عبارت دیگرما نمی توانیم از «مجموعه اعداد طبیعی» صحبت کنیم، بلکه ما تنها می توانیم ازفرایند ساخته شدن گام به گام اعداد طبیعی سخن به میان آوریم.

پس از ساخته شدناعداد طبیعی به روش فوق، می توان از جمع میان دو عدد طبیعی صحبت کرد.برای مثال ماچگونه می دانیم که ۱۲= ۵+۷ می شود ابتدا، در فکرمان ۷ را می سازیم.سپس عمل ساختنویژه ای که ۷ را به ۵ می افزاید انجام می دهیم.سپس ۱۲ را می سازیم و سرانجام عملساختن مقایسه ای را انجام می دهیم که برابر بودن مجموع ۷ و ۵ با ۱۲ را برقرار میسازد.چنین ریاضیاتی که اساس آن بر ساختن گام به گام بر مبنای شهود پایه بنا شدهاست، ریاضیات شهودی یا ریاضیات ساختی می نامند.

۴) زبان- منطق

جنبش رمانتیک باب این بحث را گشود که روشنگری خصم جهان ارزشی آدمی است و با الگوبرداری یکسویه ازعلم طبیعی انسان را به شیء فرومی کاهد و جامعه ارگانیک بشری را به جامعه مکانیکمبدل می سازد.تحت تأثیر همین نگاه به دنیای مدرن، براور معتقد است که بشر اولیه بهوسیله نگاه، ایما و اشاره و ارتباط های روحی از فواصل دور با یکدیگر ارتباط برقرارمی کرد.اما از زمانی که تعقل و تفکر پا به عرصه گذاشت این ارتباط با زبان انجام گرفت.به بیانی دیگر «زبان شریک بلافصل تعقل است».

انسان ها کوشیدند که خود وفرزندانشان را با زبان صوری آموزش دهند که با مشقت بسیاری همراه بود و در برقرارکردن ارتباط میان آنها چندان موفق نبود.نیازها، آرمان ها و آرزوهای انسان هامتفاوتند، از این رو زبان را به معناهای متفاوتی به کار می برند و در نتیجه قادرنیستند با یکدیگر ارتباط مستقیم و بدون ابهام داشته باشند.«زبان تنها می تواندمشایعت کننده فهم و درک متقابل از قبل موجود باشد.» فهم و درکی که به واسطه ارتباطمیان روح انسان ها به وجود آمده است.از نظر براور «زبان تنها در فرهنگ بشری و بهواسطه آن به حیات خود ادامه می دهد که از طرفی به فهمی متقابل نیازمند است و از طرفدیگر ارتباط مستقیم میان انسان ها را ناممکن می سازد.» از این رو انسان ها «در ترسو واهمه تنهایی خودشان به صورت ماشین هایی اتوماتیک درمی آیند، بردگان ماشین غولپیکر ارتباط جمعی» حقیقت اغلب به وسیله کلمات یا ترکیبات پیچیده ای از کلمات، که اززبان جمعی وام گرفته شده است، انتقال داده می شود.بنابراین برای موضوعی که به وسیلهزبان بیان می شود، یعنی با مجموعه ای از کلمات، همواره تعریفی از پیش ارائه شدهوجود دارد که افراد مطابق آن با موضوع رفتار می کنند.همچنین سیستمی از قوانین کلیبه نام منطق وجود دارد که می توان موضوع مورد نظر را از مجموعه ای از سیستم هایکلمه ای استنتاج کرد.در این حالت نیز حقیقت موضوع مورد نظر به وسیله منطق تحت تأثیرقرار می گیرد و دوباره افراد به جای آن که با حقیقت موضوع در رابطه باشند، تحتتأثیر منطق با آن رفتار می کنند.بنابراین «منطق ابزار اطمینان بخشی برای کشف حقایقنیست» اما ریاضیات کلاسیک از همین منطق برای رسیدن به حقایق ناشناخته استفاده میکند.و به شکل ویژه ای اصل طرد شق ثالث را برای اثبات های ریاضی به کار می گیرد کهمطابق آن یک گزاره یا صادق یا کاذب است.

براور معتقد است که «ریاضیات شهودگرایینشان می دهد که قضایای ریاضیات به طور صریح و قطعی از ساختن های درون نگرانهاستنتاج می شود» و از این رو معتبر است.اگر منطق نیز بخواهد قابل اتکا و اطمینانباشد باید شیوه ساختنی بودن متناهی را به کار گیرد که مطابق آن قانون طرد شق ثالثنفی می شود.

عدد x را در نظر بگیرید که برابر k(۱-) تعریف می شود، که در آن k شماره نخستین رقم در بسط اعشاری عدد پی است که دنباله ارقام متوالی ۱۲۳۴۵۶۷۸۹ با آنشروع می شود، و در صورت نبودن چنین kیی، ۰=x است حال گرچه x خوش تعریف است، نمیتوانیم بلادرنگ، تحت محدودیت های شهودگرا، بگوییم که گزاره ۰=x درست یا نادرستاست.تنها به شرطی می توان گفت این گزاره درست است که برهانی از آن را بتوان باتعدادی مراحل متناهی ساخت، و تنها به شرطی می توان گفت نادرست است که برهانی ازچنین وضع با تعدادی مراحل متناهی ساخته شود.مادامی که یکی از این دو برهان ساختهنشده اند، گزاره نه درست است و نه نادرست و قانون طرد شق ثالث غیرقابل کاربرداست.اما اگر k را به عددی کوچکتر از مثلاً یک بیلیون محدود کنیم، آن گاه کاملاًدرست است بگوییم که اینک گزاره درست یا نادرست است، زیرا، برای k کوچکتر از یکبیلیون، درستی یا نادرستی گزاره را مطمئناً می توان طی یک رشته متناهی از محاسباتتعیین کرد.

بنابراین، برای شهودگرایان، قانون طرد شق ثالث برای مجموعه هایمتناهی برقرار است، ولی نباید آن را در مورد مجموعه های نامتناهی در ریاضیات به کاربرد.آنگونه که ایوز، مورخ مشهور ریاضیات می گوید، «براور تقصیر چنین اوضاعی را بهگردن بسط منطق از لحاظ جامعه شناختی می اندازد.قوانین منطق در زمانی از تکامل انسانظاهر شده است که وی زبان مناسبی برای پرداختن به مجموعه های متناهی از پدیده ها دراختیار داشته است؛ او سپس خطای به کار بردن این قوانین را در مجموعه های نامتناهیدر ریاضیات مرتکب و نتیجه آن شده است که تعارض ها در احکام ظاهر شوند.»

مطابقاین ریاضیات، تصور صدق یا کذب یک حکم ریاضی مستقل از معرفت ما نسبت به آن حکم، بیمعنی است.یک حکم راست است، اگر برهانی برای آن داشته باشیم، یعنی روشی ساختی که درنهایت به آن حکم برسیم.همچنین یک حکم غلط است، اگر بتوانیم نشان دهیم که فرض این کهبرهانی برای آن وجود دارد، منجر به تناقض می شود.برای مثال A^B درست است، اگربتوانیم برهانی برای آن ارائه دهیم و این بدان معنی است که برهانی برای A و برهانیبرای B ارائه نماییم.همین طور AvB درست است، هرگاه بتوانیم برهانی برای آن ارائهدهیم و این به معنی آن است که برهانی برای A یا برهانی برای B ارائه کنیم.همچنینبرهان برای ترکیب شرطی ]B A عبارتست از ساختمانی که هر برهان برای A را به برهانیبرای B تبدیل می کند.

در منطق شهودگرایی، تناقض هیچ برهانی ندارد و هر برهانبرای نقیض یک گزاره یعنی ~A ساختمانی است که هر برهان فرضی برای A را به برهانیبرای یک تناقض تبدیل می کند.از این رو Av~A از نظر ساختی معتبر نیست.البته بایدتوجه کرد که گرچه اصل طرد شق ثالث معتبر نیست، اما این بدان معنی نیست که (Av~A)~ درست است.صورت های دیگر این اصل، مثل ~~A]A نیز در منطق شهودگرایی معتبرنیستند.بنابراین «برهان خلف» به معنی کلاسیک آن در منطق شهودگرایی معتبر نیست، زیرادر برهان خلف، استنتاج به این شکل است که وقتی می خواهیم حکم A را ثابت کنیم، فرضمی کنیم چنین نباشد یعنی ~A بعد به تناقض می رسیم.در منطق کلاسیک در این مرحله A رانتیجه می گیریم، اما آنچه که می توانیم بگوییم ~~A است و چون ~~A]A اصلی معتبرنیست، نمی توانیم A را نتیجه بگیریم.براور نشان داد که برای هر حکم A در منطقشهودگرایی داریم: ~A~~~A بنابراین برهان خلف برای احکامی که به صورت نقیض هستند،یعنی می توان آنها را به شکل ~A نشان داد، معتبر است.

از نظر معناشناسی نیز بینمنطق شهودگرایی و منطق کلاسیک فرقی اساسی وجود دارد.برخلاف منطق کلاسیک کهمعناشناسی آن مبتنی بر جهانی ثابت از اشیا است، جهان معناشناسی منطق شهودگراییمتغیر است.این تغییر هم در اشیا و هم در امور واقع اتفاق می افتد.معناشناسی هایمختلفی برای بیان جهان متغیر از اشیا ارائه شده است که از میان آنها می توان بهمعناشناسی کریپکی و جبیرهیتینگ اشاره نمود.

● جمعبندی

همانطور که ملاحظه شد،پیامدهای ریاضیات شهودگرایی جنبه انقلابی دارند.پافشاری بر روش های ساختی به تصوریاز وجود در ریاضیات منجر می شود که آن چیزی نیست که همه ریاضیدانان بدان اعتقادداشته باشند.برای شهودگرایان، هستی که اثبات وجود آن لازم است، باید در تعدادیمراحل متناهی ساختنی باشد، کافی نیست که فرض عدم وجود آن هستی منجر به تناقضشود.این بدان معنی است که بسیاری از براهین وجودی ای که در ریاضیات کنونی دیده میشوند، برای شهودگرایان قابل قبول نیستند.

از پیامدهای دیگر روش ساختی، نظریهمجموعه ها است.از نظر شهودگرایان، یک مجموعه را نمی توان به عنوان گردایه ساخته وپرداخته ای تصور کرد، بلکه باید آن را به عنوان قانونی تلقی کرد که به کمک آن عناصرمجموعه را بتوان به یک روال قدم به قدم بنا کرد.این مفهوم مجموعه امکان وجود مجموعههای تناقض آمیزی مانند «مجموعه همه مجموعه ها» را رد می کند.

در حال حاضرشهودگرایان در بازسازی قسمت های مهمی از ریاضیات کنونی، منجمله یک نظریه پیوستار ویک نظریه مجموعه ها توفیق یافته اند، ولی هنوز راه زیادی در پیش است.اما باید توجه کرد که از زمان پیدایش کامپیوترها و زبان های برنامه نویسی مجرد، می دانیم که ساختنهایی از نوع روش ساختی ریاضیات شهودگرایی بازی بیهوده ای نیستند.آنها در قلب ریاضیات هستند.

 

[royan aria 2,423]

آثار بیرونی در ریاضیات و نجوم

 

بر اساس فهرستی که بیرونی از آثار خود آورده و اطلاعاتی که از آثار وی پس از تهیه ی آن فهرست در دست است ، از ۱۸۰ عنوان تألیف ، ترجمه ، پیش نویس و آثار نیمه تمام بیرونی ، دست کم ۱۱۵ عنوان به ریاضیات ، نجوم و مطالب وابسته بدانها اختصاص داشته که ۲۸ عنوان از آنها به دست ما رسیده است.

با اینهمه ، در نهضت ترجمه ی متنهای علمی از عربی به لاتینی (قرنهای ششم و هفتم ) هیچیک از آثار او به لاتینی ترجمه نشد. احتمالاً غفلت زندگینامه نویسان دوره ی اسلامی از میراث علمی بیرونی در این امر مؤثر بوده است چرا که تنها ابن ابی اصیبعه چند سطر به بیرونی اختصاص داده و قفطی و ابن خلکان حتی نامی از او نبرده اند. شاید از آنجا که بیرونی در مجادلاتش با ابن سینا موفقیت چشمگیری به دست نیاورد، معاصران و جانشینان بلافصل او بیرونی را چهره ی برجسته ای به شمار نیاوردند و به مهارت او در حوزه ی فلسفه ی طبیعی تردید کردند. باید در نظر داشت که بیرونی پس از مطرح کردن احتمال حرکت وضعی زمین ، آن را موضوعی فلسفی دانسته و بلافاصله از کنار آن گذشته و خود را برای قضاوت در این باره صالح ندانسته است .

همچنین بیرونی بر خلاف معاصرانش نظیر ابن هیثم و ابوعبید جوزجانی و جانشینانش چون مؤیدالدین عُرضی ، خواجه نصیرالدین طوسی ، قطب الدین شیرازی و ابن شاطر که همگی به انتقاد از نجوم بطلمیوسی برخاستند و حتی در مواردی الگوهای دیگری برای هیئت عالم مطرح کردند، اثری در این باره ننگاشته است . این انتقادها یکی از وجوه بسیار مهم نجوم دوره ی اسلامی در قرنهای هفتم و هشتم به شمار می آمده و بر کارهای کوپرنیک در این زمینه اثر گذاشته است . تنها اثری که در این زمینه از بیرونی یاد شده ، اثر گمشده ی ابطال البهتان بایراد البرهان است که بنابر شواهد در رد نظریه ی بطلمیوس درباره ی عرض سیارات تألیف شده بود.

در ریاضی آثار زیر از بیرونی به جا مانده است :

▪ باب آغازین کتاب التفهیم لأوائل صناعة التنجیم به هندسه و باب دوم آن به حساب و جبر و مقابله اختصاص دارد. در کتاب مختصری که بیرونی با عنوان راشیکات الهند به عربی تالیف کرده ، مطالبی در باب نسبت و تناسب در ریاضیات هند و آنچه در این باره از ریاضیات یونان به کشورهای اسلامی رسیده آورده است . عنوان دو اثر دیگر بیرونی در ریاضیات محض استخراج الاوتار فی الدائرة بخواص الخط المنحنی الواقع فیها و جمع الطرق السائرة فی معرفة اوتار الدائرة است که به اندازه گیری طول وترهای دایره مربوط می شود.

در باب نجوم و مطالب وابسته به آن ، گذشته از آثار الباقیة عن القرون الخالیة ، التفهیم و قانون مسعودی، که بهترین و قوی ترین کتب نجومی بیرونی هستند، آثار زیر از بیرونی موجود است(این سه کتاب به طور مفصل تر در بخش نجوم تبیان معرفی خواهند شد):

▪ مقالید علم الهیئة مایحدث فی سطح بسیط الکرة . یکی از مهمترین آثار بیرونی و نخستین کتاب کاملی است که در باب مثلثات کروی نگاشته شده است . موضوع این اثر، معرفی شکل مغنی (یک فرمول کثلثاتی جدید که توسط استادِ بیرونی در زمینه ی مثلثات کروی ابداع شده بود) و به کارگیری آن در محاسبات نجومی به جای شکل القطاع به طور مفصل و مشروح است.

▪ تحدید نهایات الاماکن لتصحیح مسافات المساکن . بیرونی انگیزه ی خود را در تألیف این اثر چنین آورده است (۱۳۵۲ش ، ص ۳۴ـ۳۵): «...و اما آنچه مخصوصاً مورد نظر است اینکه همه ی اینها (مختصات جغرافیایی) را برای شهر غزنه که پایتخت کشور مشرق است اندازه بگیرم ، چه این شهر، به گمان آن کس که تقدیر را از بشر می داند، به تقدیر بشری وطن من است ، و همه ی تقدیر در حقیقت مخصوص خدای یگانه است ؛ و در آن ، اگر بتوانم ، پیوسته به آنچه از خاطر دور نمی شود از رصدکردن و کوشش علمی می پردازم ، و قبله ی آن را درست می کنم ...»

تعیین سمت قبله برای غزنه که مسئله ی ریاضی نسبتاً دشواری بود و به استفاده از مثلثات کروی پیشرفته نیاز داشت ، به بیرونی مجال داد تا از فواید ریاضیات و نجوم ریاضی سخن بگوید. موضوع تعیین سمت قبله به عنوان یک امر شرعی ، مستلزم به کارگیری جغرافیای ریاضی بود و بر این اساس بیرونی در کنار علوم «اواخر» (اسلامی ) از علوم «اوایل » (یونانی ) نیز دفاع کرده است (همان ، ص ۶ـ ۸).

بیرونی در ادامه ی مقدمه ی این اثر، به مسائل مربوط به فلسفه ی طبیعی در مورد آفرینش و تشکیل ربع مسکون نیز پرداخته که بیانگر وضعیت چنین پژوهشهایی در روزگار بیرونی است . برای مثال ، در نظریه های زمین شناسی موجود بازنگریهایی می شد تا بتوانند وجود سنگواره ها را در بخشهایی از سرزمینهای مسکونی که ظاهراً هرگز به دریا نزدیک نبوده است ، توضیح دهند. به مدد این گونه پژوهشهای بیرونی است که از سایر آثار مفقود درباره ی زمین شناسی ، نظیر فی بناءالمُدن ابن عمید (متوفی ۳۶۰)، آگاه می شویم .

بیرونی در تحدید علاوه بر عرضه ی چندین روش برای تعیین سمت قبله ، فصلهای جامعی را به مسائل عملی دیگر چون تعیین نصف النهار محل ، فاصله ی میان شهرها، روشهای رصد و مانند آن اختصاص داده است . علاوه بر ویرایش متن عربی ، این کتاب به زبانهای فارسی ، انگلیسی و روسی ترجمه شده است .

▪ اِفرادُ المَقال فی امرِ الظِلال .(تحقیقی درباره ی خواص هندسی سایه ها) بیرونی در این کتاب نیز می کوشد تا تمایز میان مباحث ریاضی و فلسفه را تشریح کند. او معتقد است که بدون استفاده از نجوم و حساب و هندسه به سختی می توان مبحث سایه ها را درک کرد و کسی که این علوم را با دین ناسازگار بداند نه تنها با عوام تفاوتی ندارد بلکه «با این دفاع نابجای خود به دین لطمه می زند»

بیرونی در مقدمه ای طولانی کاربردهای گوناگون ظل (سایه ) را از نظر نجومی بررسی می کند. سپس با تعریف توابع ظل ، یعنی ظل مستوی (کتانژانت ) و ظل معکوس (تانژانت )، در بابهای ۹ و ۱۰ به بحث خود پایان می دهد. آنگاه روابط میان این تابعها و دیگر تابعهای مثلثاتی به تفصیل مورد بحث قرار می گیرد (بابهای ۱۱ و ۱۲) و روشهایی عملی برای تبیین توابع ظل عرضه می شود (بابهای ۱۳ تا ۱۷). این پژوهشها، از طریق تعیین رابطه ی اندازه گیری سایه با تعیین نصف النهار محل و سپس تعیین اوقات شرعی ، به شدت کاربرد دینی پیدا می کند که به نوبه ی خود (بابهای ۲۵ و ۲۶) به بررسی اوقات نماز و نمایش آنها به صورت منحنیهایی بر ابزارهای نجومی می انجامد. این منحنیها معادل کاربرد امروزی نمودارهای تابعهای ریاضی است . باب ۲۷ به بررسی مزایای استفاده از تابعهای مثلثاتی به جای قضیه ی منلائوس اختصاص دارد و در بابهای ۲۸ تا ۳۰ با آوردن مطالب متفرقه درباره ی سایه ها به بحث پایان می دهد.

گرچه بیرونی در این اثر خواسته است اوقات نماز را به روش ریاضی تعیین کند و بدین ترتیب ریاضیات را برای مقاصد دینی به کار گیرد، رساله ی افراد را می توان متن مستقلی در مثلثات دانست . درواقع از لحاظ تاریخی ، بررسی ابزارهای سنجش سایه و تعیین وقت ، منشأ پیدایش تابعهای مثلثاتی بوده است.

▪ استیعاب الوجوه الممکنة فی صنعة الاسطرلاب . با آنکه نسخه های متعددی از این اثر باقی است و علیرغم اهمیت آن در تاریخ نجوم بویژه تاریخچه ی ابزارهای نجومی ، هنوز مورد بررسی محققان قرار نگرفته است . بیرونی در این کتاب علاوه بر بررسی کلیه ی انواع شناخته شده ی اسطرلاب و عرضه ی گزارشی از تاریخچه ی تحول فنی این ابزار نجومی یونانی تا قرن پنجم ، توضیحات مفصلی هم درباره ی انواع اسطرلابهای بدیع و شالوده ی نظری آنها آورده است . برای مثال ، بیرونی درباره ی اسطرلاب زورقی که ابوسعید احمدبن محمد سجزی آن را ابداع کرده است می گوید (گ ۷۹ ر): «اسطرلاب ساده ای ، ساخته ی ابوسعید سجزی دیدم فاقد بخش شمالی یا جنوبی ، که زورقی نامیده می شد. از این اسطرلاب خیلی خوشم آمد زیرا ابوسعید آن را برمبنای نظریه ی مستقلی ابداع کرده بود که عده ای آن را قبول دارند و طبق آن حرکت کلی ظاهری ، ناشی از حرکت زمین و نه آسمان است . من جداً بر این باورم که تحقیق درباره ی این حرکت و تجزیه و تحلیل آن دشوار است و این امر نباید آنهایی که با خطوط هندسی سر و کار دارند یعنی هندسه دانان (مهندسان ) و منجمان را نگران کند، زیرا چنین نظریه ای به هیچ وجه کار آنها را بی اعتبار نمی کند. مسئولیت تجزیه و تحلیل این گونه مسائل و نظریات برعهده ی فیلسوفان طبیعی است .» نوشته ی احمدبن حمدان حرانی در کتاب جامع الفنون (گ ۶۴ پ ) در قرن هفتم هجری هم مؤید آن است که کسانی از جمله سجزی به حرکت وضعی زمین (برخلاف جلوه ی ظاهری و نظریات بطلمیوس ) معتقد بودند: «طبق نظر مهندسان ، زمین حرکت دورانی پیوسته ای دارد و آنچه به ظاهر حرکت آسمان دیده می شود، درواقع به خاطر حرکت (وضعی) زمین ـ و نه ستارگان ـ است »

▪ فی تسطیح الصُوَر و تبطیخ الکُوَر . درباره ی انتقال تصویر صور سماوی و مواضع شهرها و کشورها از سطح کروی به روی صفحه .

▪ مقالة فی استخراج قدرالارض برصد انحطاط الافق عن قلل الجبال . این رساله تنها دو برگ انتهایی رساله ای در اسطرلاب نوشته ی بیرونی .

حکایة الآلة المسماة السدس الفخری . رساله ی کوتاهی درباره ی آلت نجومی سُدس فخری که از اختراعات ابومحمود خجندی (قرن چهارم ) بوده است

▪ مقالة فی التحلیل والتقطیع للتعدیل .

▪ کتاب الدرر فی سطح الاُکَر .

▪ رسالة فی معرفة سمت القبله . رساله ی کوتاهی درباره ی شناسایی جهت قبله

▪ رسالة فی تصویر الکواکب و البلدان فی ای دائرتین اردنا .

▪ کتاب فی اخراج ما فی قوة الاسطرلاب الی الفعل

▪ مقالة فی صنعة الاسطرلاب .

▪ رسالة فی الاسطرلاب . رساله ی مفصلی درباره ی کاربردهای مختلف اسطرلاب در ۶۷ ص

▪ مقالة فی التطریق باستعمال فنون الاسطرلابات

▪ مقالة فی تسهیل التسطیح الاسطرلابی و العمل بمرکباته من الشمالی و الجنوبی . رساله ای در دو مقاله درباره ی ساخت اسطرلاب و بعضی کاربردهای آن.

▪ مقیاس المرجع فی العمل باسطرلاب المسطح

▪ جوامع معانی کتاب ابی حامد الصاغانی فی التسطیح التام ..

[royan aria 2,423]

زندگي نامه ارشميدس

 

ارشمیدس دانشمند و ریاضیدان یونانی در سال 212 قبل از میلاد در شهر سیراکوز یونان چشم به جهان گشود و در جوانی برای آموختن دانش به اسکندریه رفت. بیشتر دوران زندگیش را در زادگاهش گذرانید و با فرمانروای این شهر دوستی نزدیک داشت. در اینجا سخن از معروفترین استحمامی است که یک انسان در تاریخ بشریت انجام داده است. در داستانها چنین آمده است که بیش از 2000 سال پیش در شهر سیراکوز پایتخت ایالت یونانی سیسیل آن زمان ارشمیدس مکانیکدان و ریاضیدان و مشاور دربار پادشاه یمرون یکی از معروفترین کشفهای خود را در خزینه حمام انجام داد. روزی که او در حمامی عمومی به داخل خزینه حمام پا نهاد و در آن نشست و حین این کار بالا آمدن آب خزینه را مشاهده کرد ناگهان فکری به مغزش خطور کرد. او بلافاصله لنگی را به دور خود پیچید و با این شکل و شمایل به سمت خانه روان شد و مرتب فریاد می زد: یافتم، یافتم به زبان یونانی Heureca! Heureca او چه چیزی یافته بود؟

پادشاه به او مأموریت داده بود راز کار جواهر ساز خیانتکار دربار او را کشف و او را رسوا کند. شاه هیرون بر کار جواهر ساز شک کرده بود و چنین می پنداشت که او بخشی از طلایی را که برای ساختن تاج شاهی به وی داده بود برای خود برداشته و باقی آن را با فلز نقره که بسیار ارزانتر بود مخلوط کرده و تاج را ساخته است. هرچند ارشمیدس می دانست که فلزات گوناگون وزن مخصوص متفاوت دارند ولی او تا آن لحظه این طور فکر می کرد ک مجبور است تاج شاهی را ذوب کند، آن را به صورت شمش طلا قالب ریزی کند تا بتواند وزن آن را با شمش طلای نابی به همان اندازه مقایسه کند. اما در این روش تاج شاهی نیز از بین می رفت، پس او مجبور بود راه دیگری برای این کار بیابد. در آن روز که در خزینه حمام نشسته بود دید که آب خزینه بالاتر آمد و بلافاصله تشخیص داد که بدن او میزان معینی از آب را در خزینه حمام پس زده و جابه جا کرده است. او با عجله و سراسیمه به خانه بازگشت و شروع به آزمایش عملی این یافته کرد. او چنین اندیشید که اجسام هم اندازه، مقدار آب یکسانی را جابه جا می کنند ولی اگر از نظر وزنی به موضوع نگاه کنیم یک شمش نیم کیلویی طلا کوچکتر از یک شمش نقره به همان وزن است (طلا تقریباً دو برابر نقره وزن دارد) بنابراین باید مقدار کمتری آب را جابه جا کند. این فرضیه ارشمیدس بود و آزمایشهای او این فرضیه را اثبات کرد. او برای این کار نیاز به یک ظرف آب و سه وزنه با وزنهای مساوی داشت که این سه وزنه عبارت بودند از تاج شاهی، هم وزن آن طلای ناب و دوباره هم وزن آن نقره ناب. او در آزمایش خود تشخیص داد که تاج شاهی میزان بیشتری آب را نسبت به شمش طلای هم وزنش پس می راند ولی این میزان آب کمتر از میزان آبی است که شمش نقره هم وزن آن را جابه جا می کند. به این ترتیب ثابت شد که تاج شاهی از طلای ناب و خالص ساخته نشده بلکه جواهر ساز متقلب و خیانتکار آن را از مخلوطی از طلا و نقره ساخته است. به همین ترتیب ارشمیدس یکی از چشمگیرترین رازهای طبیعت را کشف کرد آن هم اینکه می توان وزن اجسام سخت را با کمک مقدار آبی که جابه جا می کنند اندازه گیری کرد. این قانون (وزن مخصوص) را که امروزه چگالی می گویند «اصل ارشمیدس» می نامند. حتی امروز هم هنوز پس از 23 قرن بسیاری از دانشمندان در محاسبات خود متکی به این اصل هستند.

به هر حال ارشمیدس در رشته ریاضیات از ظرفیتهای هوشی بسیار والا و چشمگیری برخوردار بود. او منجنیقهای شگفت آوری برای دفاع از سرزمین خود اختراع کرد که بسیار سودمند افتاد. او توانست سطح و حجم جسمهایی مانند کره، استوانه و مخروط را حساب کند و روش نوینی برای اندازه گیری در دانش ریاضی پدید آورد. همچنین به دست آوردن عدد نیز از کارهای گرانقدر وی است. او کتابهایی درباره خصوصیات و روشهای اندازه گیری اشکال و احجام هندسی از قبیل مخروط منحنی حلزونی و خط مارپیچ، سهمی، سطح کره و استوانه می دانست. علاوه بر آن او قوانینی درباره سطح شیبدار، پیچ اهرم و مرکز ثقل کشف کرد.