آموزش المان محدود (روش اجزا محدود)

[S.F 24,931]

درود ب شما مطالعه کننده عزیز.

 

 

حل عددی تقریبی معادلات با مشتقات جزئی و معادلات انتگرالی موضوع اصلی این علم هست.

 

 

 

همون طور ک میدونین معادلات حاکم بر طبیعت، اکثرا چند متغیر مستقل دارند؛ ب این گروه معادلات PDE میگن

مثال معروف هم متغییر مکان و دما درون یک دیسک هست ک در حال حرارت دیدن ه. یعنی هر چه از مرکز دورتر میشیم علاوه بر تغییر مکانی که داریم انجام میدیم، حرارتی هم ک در مرکز قرار داره کم و کمتر میشه و در حال تغییر هست.

 

در این بین، معادلاتی ک یک متغیره باشند خیلی کم هستن، ب این گروه معادلات ODE میگن.

 

 

خوب پس تا اینجا متوجه شدیم ک:

" طبیعت رو میشه بر حسب تغییراتی ک با زمان داره و یا با مکان داره به صورت روابطی نوشت ک میزان نقش این متغییر ها ( زمان، مکان و غیره ) رو در شکل گیری رفتار اون پدیده مشخص کرد ک ما این سیستم مشخص شده رو "معادلات دیفرانسیل" می گیم.

 

 

مشخص شد که پیدا کردن معادلات حاکم بر سیستم، خودش یک فرآیند دقیق و گاها پیچیده است!

 

بهتره کمی ریزتر بشیم. هر معادله ای، دو طرف تساوی داره. با فرض اینکه معادله از نوع تک متغیره باشه، خواهیم داشت:

 

الف) ODE معادلات معمولی (تک متغییر مستقل) رو در با توجه به ماهیتشون به روشهای مختلف حل می کنن

میشه این معادلات رو به معادلات 1- خطی و 2- غیر خطی تقسیم کرد. که از روش های حل معادلات خطی میشه موراد زیر رو داشت:

1- معادله مرتبه اول

2- معادله مرتبه دوم و بالاتر

روش کلی حل معادلات مرتبه اول هم روشهایی مثل معادلات کامل، خطی، ریکاتی، برنولی و غیره است.

تا اینجا ما یک طرف معادله رو داریم!

یعنی اگر معادله برابر با صفر نباشه، برای پیدا کردن جواب قسمت دوم؛ ی سری روش هست مثل: اپراتور معکوس، لاگرانژ و ضرایب نامعین.

و .... ( این مباحث اکثرا در درس معادلات دیفرانسل دوره لیسانس ب خوبی پوشش داده میشه )

 

 

ب) PDE معادلات با مشتقات جزیی رو هم به صورت کلی ب دو گروه می شه تقسیم بندی کرد:

1- خطی

2-غیرخطی

اما حل کردن و بدست آوردن پیش بینی های رفتار سیستمی که داریم، از حالت معادلات دیفرانسل معمولی کمی پیچیده تر و گاها نشدنی هست!

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی رو به طور کلی به کمک تبدیل ب معادلات معمولی حل میکنیم.

روشهای مختلف از جمله به کارگیری سری فوریه، برای مشخص کردن جواب بر حسب آرگومان هایی از سینوس و کسینوس و ....

( این مباحث در درس ریاضیات مهندسی پیشرفته بررسی میشن)

 

 

همون طور ک احتمالا می دونستید و یا الان کمی متوجه شدن؛ داستان بدست آوردن معادلات حاکم و بعد بدست آرودن جواب این معادلات برای پیش بینی رفتار پدیده ها خیلیییییییییییی پیچیده، خسته کننده و وقت گیره!

جواب دقیق خیلی از معادلات حاکم بر طبیعت رو نمی تونیم با ریاضی به صورت حل دقیق و تحلیلی داشته باشیم و مجبوریم بریم سراغ های حل های تقریبی و عددی.

 

 

خوب موضوع درس المان محدود، همینه و به دنبال پاسخ این سوال هستیم ک:

چطور و چگونه؟

[S.F 24,931]

افزايش روز افزون نيازهاي بشر و تلاش براي برآورده ساختن آنها، منجر به خلق مسائل تازه وپيچيده اي در در همه زمينه هاي علمي و فني شدهكه حوزه مهندسي مكانيك و سازه نيز از اين امرمستثني نبوده است

 

در اغلب موارد ، نياز به طراحي و تحليل قطعات با هندسه و اخيرا خواص پيچيده تحت بارگذاري هاي نامنظم است

كه بكار گيري روشهاي كلاسيك موجود- به عنوان مثال تئوري الاستيسيته در مورد توزيع تنش ( منجر به يافتن معادلات حاكم بسيار پيچيده با شرايط مرزي و اوليه متنوع است

كه عملا حل اين معادلات از روش تحليلي را غير ممكن مي سازد

از همين روست كه روشهاي عددي متنوعي براي حل معادلات ديفرانسيل حاكم به سيستمها ايجاد و امروزه به طرز وسيعي مورد استفاده قرار مي گيرند

 

بسته به نوع روش عددي مورد استفاده و نوع المان بندي، روشهاي مختلفي نظير

حجم محدود، اجزاء محدود ، تفاضل محدود و ... حاصل شده است

 

[S.F 24,931]

معمولا مهندسان و فيزيكدان ها يك پديده فيزيكي را به وسيله دستگاهي از معادلات ديفرانسيل معمولي و يا پاره اي كه در محدوده خاصي صادق است و شرايط مرزي و آغازين مناسبي را تامين مي كند توصيف مي كنند. در واقع يك معادله ديفرانسيل با شرايط مرزي و اوليه مورد نياز، خود يك مدل رياضي كامل از يك پديده است.

 

براي يافتن توزيع متغير هاي مورد نظر كه ارتباط آنها در فرم ديفرانسيلي توسط معادله حاكم بيان مي گردد، مي بايست معادله مذكور حل گردد تا بتوان مقادير عددي هر كميت مرتبط را در نقاط دلخواه بدست آورد.

 

اما با توجه به اينكه تنها مي توان اشكال بسيار ساده اين معادلات آن هم در ناحيه هاي هندسي بسيار ساده را با روشهاي تحليلي حل نمود، در حل اغلب معادلات حاكم به روش تحليلي با مشكل بزرگي مواجه هستيم

 

براي مقابله با چنين مشكلاتي و نيز جهت استفاده از قدرتمند ترين وسيله موجود در قرن حاضر يعني كامپيوتر، ضروري است كه مساله مورد نظر در يك قالب كاملا جبري ريخته شود تا حل آنها تنها نيازمند عمليات جبري باشد. براي دستيابي به چنين هدفي مي توان از انواع مختلف روشهاي گسسته سازي يك مساله پيوسته تعريف شده به وسيله معادلات ديفرانسيل استفاده نمود.

 

در اين روشها تابع و يا توابع مجهول كه مي توان آنها را با مجموعه اي نا متناهي از اعداد نشان داد، به وسيله تعداد متناهي از پارامتر هاي مجهول جايگزين مي گردند كه طبيعتا در حالت كلي نوعي تقريب را دربر دارد.

[S.F 24,931]

خوب، تا اینجا ب این رسیدیم ک دنیا همش معادلات دیفرانسیلی ه. و اکثرا هم معادلات پاره ای، و اینکه خیلی هاشون رو باید ب روش های عددی حل کنیم.

 

 

سه روش عمده در حل عددي يك معادله ديفرانسيل به شرح زيراند:

 

1- روش تفاضل محدود FDM

Finite difference method

 

2- روش تغییرات

Variational Method

3- روش باقیمانده وزنی

Weighted Residual Methods

 

در ادامه گذری بر هر کدوم از این موارد می کنیم.

[S.F 24,931]

Finite difference method

 

 

 

 

 

 

یکی از روشهای عددی برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل است

 

اين روش مبتني بر مشتقات تابع مجهول است.

 

1- ناحيه مورد نظر به تعدادي زيرناحيه كوچك تقسيم مي شود

 

2- بسط سري تيلور تابع مجهول حول نقاط مركزي نواحي كوچك نوشته مي شود

 

3- از جملات مرتبه دوم به بالا صرف نظر مي شود ( تقريب )

 

( عملا تغييرات پيوسته تابع بر حسب مكان يا زمان تبديل به نوعي تغييرات گسسته مي شود)

 

با نوشتن بسط مذكور براي همه نقاط زير باز هامجموعه اي از معادلات جبري حاصل شده كه از روشهاي عددي و توسط كامپيوتر قابل حل ميباشند.

 

اين روش جهت حل مسايل انتقال حرارت و مكانيك سيالات سابقا استفاده مي شده است.

 

 

[S.F 24,931]

Variational Method

به صورت کلی، اين روش مبتني بر يك انتگرال خاص از تابع مجهول است كه يك عدد توليد مي كند.

 

اما این تابع مجهول چیست؟

توابع مختلفي را به عنوان تقريب مي توان قرار داد و هر بار يك عدد توليد مي شود. تابعي كه كوچكترين عدد را توليد كند، مي تواند تقريب مناسبي براي يك معادله ديفرانسيل خاص باشد.

حالت دیگری هم می توان این کار را انجام داد. يعني معادله ديفرانسيل داده شود و از روي آن يك انتگرال تعريف شود.

آنگاه توابع مختلف در انتگرال قرار داده شود و هنگامي كه عددحاصله مینیمم شد، آن تابع بهترين تقريب براي معادله ديفرانسيل خواهد بود.

 

روش تغيير مبناي بسياري از فرمولبندي هاي اجزاء محدود مي باشد اما يك ايراد اساسي دارد و آن اينكه قابل اعمال در خصوص معادلات ديفرانسيل داراي مشتق مرتبه اول نمي باشد

[S.F 24,931]

Weighted Residual Methods

 

روشهاي باقيمانده وزني، شامل يك انتگرال مي باشند.

 

1- در اين روشها ابتدا يك تخمين براي جواب زده مي شود و در معادله ديفرانسيل مربوطه قرار مي گيرد.

 

2- از آنجايي كه تقريب اوليه در معادله صدق نمي كند، باقيمانده يا خطايي مانند Rحاصل مي شود.

 

3- این باقيمانده معادله در يك تابع وزني ضرب شده است و انتگرال حاصلضرب مي بايست برابر صفرباشد

 

نکته: تعداد توابع وزني مورد نياز برابر است با تعداد ضرايب مجهول در حل تقريبي.

توابع وزني مختلفي را مي توان براي حل انتخاب نمود كه در ادامه به آنها اشاره می شود.

 

 

الف) Collocation Method

ب) Subdomain Method

ج) Galerkin’s Method

د) Least Squares Method

[S.F 24,931]

روش ترتيب :در اين روش توابع ضربه ( Wi (x) = δ (x − X iبه عنوان توابع وزني انتخاب مي شوند. اين نوع انتخاب بيانگر اين است كه مي بايست در نقاط خاصي مقدارباقيمانده صفر باشد. تعداد اين نقاط برابر تعداد ضرايب مجهول در حل تقريبي است

 

 

روش تبعي : 2هر تابع وزني برابر واحد، ،Wi (x) = 1در يك ناحيه خاص انتخاب ميشود. اين نوع انتخاب بيانگر اين كه مي بايست در طول فاصله اي از يك ناحيه، مجموع (انتگرال) باقيمانده ها برابر صفر گردد. تعداد فواصل انتگرال گيري برابر تعداد ضرايب نامعين در حل تقريبي است

 

 

روش گالركين : در روش گالركين همان تابعي كه به عنوان حل تقريبي استفاده ميشود، به عنوان تابع وزني نيز استفاده مي شود.

( اين رویکرد، مبناي روش اجزاء محدود براي مسايل داراي مشتق مرتبه اول و بسياري مسايل ديگر است.)

 

روش حداقل مربعات :در اين روش مقدار خطاي Rبه عنوان تابع وزني استفاده مي شود.

اين ميزان خطا نسبت به ضرايب نامعلوم موجود در حل تقريبي، مينيمم مي شود.

(از روش حداقل مربعات نيز جهت فرموله كردن حل اجزاء محدود استفاده مي شود اما اين روش به اندازه روش تغيير و روش گالركين مورد استفاده قرار نمي گيرد)

[S.F 24,931]

روش اجزاء محدود يك دستورالعمل عددي برای حل مسايل فيزيكي كه توسط معادله ديفراانسيل توصيف شده اند، ارایه می دهد.

 

 

این روش داراي دو ويژگي است كه آن را از ساير روشهاي عددي متمايز مي سازد:

1- در اين روش از يك فرمولبندي انتگرالي جهت ايجاد يك دستگاه معادلات جبري استفاده مي شود.

٢- در اين روش از توابع هموار به طور قطعه اي پيوسته جهت تقريب كميت های مجهول استفاده مي شود.

در واقع این مشخصه دوم است که روش اجزاء محدود را از ساير روشهاي عددي كه فرمولبندي انتگرالي دارند، متمايز مي كند

 

روش اجزاء محدود را مي توان به پنج مرحله اصلي تقسيم كرد:

 

1- تقسيم ناحيه مورد بحث به تعداد زيادي زير ناحيه كوچك موسوم به المان. همچنین لازم است بدانیم

نقاط اتصال المانها به يكديگر ، گره ناميده مي شود.

 

2- تعيين تقريب اوليه براي حل به صورت يك تابع با ضرايب ثابت مجهول كه همواره يا خطي است و يا مرتبه دوم .پس از تعيين شدن مرتبه تقريب اوليه، معادله حاكم در هر گره نوشته مي شود.( ی تابع حدس میزنیم برای جواب متغیر فیلدمون، می تونه مراتب بالاتر هم باشه اما اصلا پیشنهاد نمیشه! چون گاها شاید باعث بشه جواب همگرا نشه یا خیلی دور بشیم از جواب)

 

3- استخراج دستگاه معادلات جبري. در صورت استفاده از روش گالركين، تابع وزني براي هر گره مشخص شده و سپس انتگرال باقيمانده وزني تشكيل مي گردد. با انتگرال گيري، براي هر گره يك معادله جبري ايجاد مي گردد كه پس از استخراج این معادلات برای همه گره ها، دستگاه معادلات بوجود مي آيد.

 

4- حل دستگاه معادلات ايجاد شده

 

5- محاسبه ساير كميات از روي مقادير گرهي (متغیر میدان در بحث جامدات اغلب جابجایی هست، وقتی جابجایی رو داشته باشیم سایر موارد رو از مکانیک مواد محاسبه می کنیم)

[S.F 24,931]

 

 

همون طور که تا الان متوجه شدید، حل المان محدود نیاز به استفاده از کامپیوتر برای مسائل پیچیده رو داره و تنها میشه مسایل معمولی مثل تیر و خرپا رو با دست حل کرد (البته اینها رو با تکیه بر مکانیک مواد هم میشه حل کرد. اما حل اونها با روش المان محدود فقط برای نهایده شدن روش حل ه) پس آنچه در ادامه بررسی می شود؛ نکات و توضیحات 5 موردی هست که بالا مطرح شده. از اونجایی که نرم افزارهای المان محدود، زیاد هستن مثل: دفورم، آباکوس، انسیس، ادامز و غیره گاها جزییات خیلی ریز میشن که اغلب با تکیه به نرم افزار آباکوس مظرح و بررسی میشن.

[S.F 24,931]

هندسه مساله به نواحي كوچكي موسوم به المان تقسيم مي گردد.

نقاط اشتراك المانها، گره ها مي باشند.

به مجموعه يك المان با گره هايش يك مش گفته مي شود.

المانها مي توانند يك، دو و يا سه بعدي باشند مچنين بسته به بعد المان،اشكال مختلف براي يك المان قابل تصور است. يك المان دو بعدي مي تواند به شكل مثلث ، مربع ويا شكل دلخواه ديگري باشد. از طرفي يك المان سه بعدي نيز مي تواند اشكالي مانند چهار وجهي،هرم، منشور ويا مكعب داشته باشد. مش بندي هندسه مساله از مراحل مهم مدل سازي مي باشد كه مستلزم دقت و مهارت مناسب مي باشد

 

 

مشخص ه که توسط میان یابی، می تونیم نقاطی بین این نقاط محاسبه رو هم ردگیری و بررسی کنیم. همون طور ک تو شکل دیده میشه با ریز تر شدن مش، خطا محاسبه تقریبی ما نسبت به حالت جواب دقیق (تحلیلی) کمتر میشه. یعنی با ریز شدن مش، به جواب دقیق نزدیک تر میشیم.

 

 

 

 

خوب، پس یعنی همیشه مش ریزتر بهتر هست؟

 

 

 

 

[S.F 24,931]

در ادامه پست قبل به این رسیدیم که مش ریزتر یعنی دقت بیشتر.

اما سوال اینکه آیا این ریز کردن مش همیشه بهتره؟

 

زمان حل یک مسئله متناسب با (درجه آزادی) به توان n ه. { درجه آزادی در چست بعد توضیح داده میشه}

n میتونه وابسته به نوع حلگر( بعدها توضیح داده میشه) و نوع تحلیل از 1 تا 4 باشه!

 

مشخصا بحث زمان، در قطعات بزرگ حادتر میشه. مقدار بیشتری مموری پردزش های گرافیکی لازم ه.

 

فرد تحلیل کننده باید یک رابطه متناسب بین میزان دقت خواسته شده و زمان حل رو با توجه به اندازه المان ها رعایت کنه

 

تصور کنید برای حل 100 درصدی یک معادله، یک دانشمند 100 روز وقت میزاره؛ اما یک مهندس یک جواب با میزان حاشیه ایمنی طراحی خاص، همون مسله رو با دقت 90 درصد در یک روز حل میکنه و وارد فاز عملیاتی میشه. اینحاست که هنوز قلم از دست دانشمند رها نشده، محصولی که ساعتها روی حل رفتار مکانیکش کار کرده رو توی بازارهای فروش میبینه!

 

این تفاوت اساسی ه حل های تحلیلی با حل های عددی ه. " حل سریعتر با حاشیه ایمنی معین و میزان دقت مطلوب"