روش اجزا محدود | تاپیک جامع آموزش المان محدود

هدف: در این تاپیک به آموزش اصول اولیه روش اجزا محدود پرداخته می شود. تا کاربر نرم افزارهای تحلیلی بتواند رابطه عمیق تری با مفاهیم کار پیدا کند.

توضیحات ابتدایی روش اجزا محدود :

حل عددی تقریبی معادلات با مشتقات جزئی و معادلات انتگرالی موضوع اصلی این علم هست.

همون طور که میدونین معادلات حاکم بر طبیعت، اکثرا چند متغیر مستقل دارند؛ ب این گروه معادلات PDE میگن

مثال معروف هم متغییر مکان و دما درون یک دیسک هست که در حال حرارت دیدنه. یعنی هر چه از مرکز دورتر میشیم علاوه بر تغییر مکانی که داریم انجام میدیم، حرارتی هم ک هدر مرکز قرار داره کم و کمتر میشه و در حال تغییر هست.

در این بین، معادلاتی که یک متغیره باشند خیلی کم هستن، به این گروه معادلات ODE میگن.

خوب پس تا اینجا متوجه شدیم که:

” طبیعت رو میشه بر حسب تغییراتی که با زمان داره و یا با مکان داره به صورت روابطی نوشت. که میزان نقش این متغییر ها (زمان، مکان و غیره) رو در شکل گیری رفتار اون پدیده مشخص کرد که ما این سیستم مشخص شده رو “معادلات دیفرانسیل” میگیم.

مشخص شد که پیدا کردن معادلات حاکم بر سیستم، خودش یک فرآیند دقیق و گاها پیچیده است!

بهتره کمی ریزتر بشیم. هر معادله ای، دو طرف تساوی داره. با فرض اینکه معادله از نوع تک متغیره باشه، خواهیم داشت:

الف) ODE معادلات معمولی (تک متغییر مستقل) رو در با توجه به ماهیتشون به روشهای مختلف حل می کنن

میشه این معادلات رو به معادلات ۱- خطی و ۲- غیر خطی تقسیم کرد. که از روش های حل معادلات خطی میشه موراد زیر رو داشت:

۱- معادله مرتبه اول
۲- معادله مرتبه دوم و بالاتر

روش کلی حل معادلات مرتبه اول هم روشهایی مثل معادلات کامل، خطی، ریکاتی، برنولی و غیره است.

تا اینجا ما یک طرف معادله رو داریم!

یعنی اگر معادله برابر با صفر نباشه، برای پیدا کردن جواب قسمت دوم؛ یه سری روش هست مثل: اپراتور معکوس، لاگرانژ و ضرایب نامعین.

و …. ( این مباحث اکثرا در درس معادلات دیفرانسل دوره لیسانس ب خوبی پوشش داده میشه )

ب) PDE معادلات با مشتقات جزیی رو هم به صورت کلی به دو گروه می شه تقسیم بندی کرد:

۱- خطی
۲-غیرخطی

اما حل کردن و بدست آوردن پیش بینی های رفتار سیستمی که داریم، از حالت معادلات دیفرانسل معمولی کمی پیچیده تر و گاها نشدنی هست!.

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی رو به طور کلی به کمک تبدیل ب معادلات معمولی حل میکنیم.

روشهای مختلف از جمله به کارگیری سری فوریه، برای مشخص کردن جواب بر حسب آرگومان هایی از سینوس و کسینوس و ….

( این مباحث در درس ریاضیات مهندسی پیشرفته بررسی میشن)

همون طور که احتمالا می دونستید و یا الان کمی متوجه شدن؛ داستان بدست آوردن معادلات حاکم و بعد بدست آوردن جواب این معادلات برای پیش بینی رفتار پدیده ها خیلیی پیچیده، خسته کننده و وقت گیره!.

جواب دقیق خیلی از معادلات حاکم بر طبیعت رو نمی تونیم با ریاضی به صورت حل دقیق و تحلیلی داشته باشیم. و مجبوریم بریم سراغ های حل های تقریبی و عددی.

خوب موضوع درس المان محدود، همینه و به دنبال پاسخ این سوال هستیم که:

چطور و چگونه؟

در لینک زیر می توانید به صورت کاملتر با روش اجزا محدود آشنا شوید که مطالب به مرور کاملتر می شوند. خود شما نیز می توانید در تکمیل تر کردن این مباحث مشارکت داشته باشید.

ادامه مطلب